Запишем уравнение в виде $\left|x ^2 - 2x - 3 |=\left| x - a | + 2a - 1$
[рис.]
Построим графики левой и правой частей уравнения $f ( x ) =\left|x ^2 - 2x - 3 |$ и $g ( x ) =\left| x - a | + 2a - 1$ Первая из них парабола с отраженной отрицательной частью, а вторая график модуля с вершиной в точке $( a,2a - 1 )$ (см. рис.). Ясно, что вершина второго графика перемещается в зависимости от a по прямой $y=2x - 1$ Из рисунка видно, что подходящих значений a ровно два  — при одном из них график правой части проходит через точку $( - 1, 0 )$ при другом  — касается отраженного участка параболы.
Первое происходит при $a=0$ а второе  — когда уравнение

$3 + 2x - x ^2 =3a - 1 - x = сильно x ^2 - 3x + 3a - 4=0$

имеет единственный корень, то есть в случае, когда дискриминант равен нулю.

$D=3 ^2 - 4 ( 3a - 4 ) =25 - 12a=0 = сильно a= \frac{25}{12}$

Ответ: $a=0, a= \frac{25}{12}$

Приведем решение Елизаветы Зелёненькой (Москва).
Изобразим уравнение $\left| x ^2 - 2x - 3 | - 2a=\left| x - a | - 1$ в системе координат xOa. Прямые a  =  x, x  =  −1, x  =  3 разбивают плоскость на шесть областей, в каждой из которых знаки выражений $| x ^2 - 2x - 3 |$ и $\left| x - a |$ остаются постоянными.
[рис.]
Найдем знак каждого подмодульного выражения в каждой области:

| $| x ^2 - 2x - 3 |$ | $\left| x - a |$

I | + | −

II | − | −

III | + | −

IV | + | +

V | − | +

VI | + | +

Найдем уравнения для каждой области. Области I и III:

$x ^2 - 2x - 3 - 2a=a - x - 1 = сильно a= $\frac{x ^2}{3}$ - $\frac{x}{3}$ - \frac{2}{3}$

Графиком данной функции является парабола, координаты вершины которой $x_0 = $\frac{1}{2}$ , a_0 = - \frac{3}{4}$
Область II:

$ - x ^2 + 2x + 3 - 2a=a - x - 1 = сильно a= - $\frac{x ^2}{3}$ + x + \frac{4}{3}$

Графиком данной функции является парабола, координаты вершины которой $x_0 = $\frac{3}{2}$ , a_0 = \frac{25}{12}$
Области IV и VI:

$x ^2 + 2x - 3 - 2a=x - a - 1 = сильно a=x ^2 - 3x - 2$

Графиком данной функции является парабола, координаты вершины которой $x_0 = $\frac{3}{2}$ , a_0 = - 4,25$
Область V:

$ - x ^2 + 2x + 3 - 2a=x - a - 1 = сильно a= - x ^2 + x + 4$

Графиком данной функции является парабола, координаты вершины которой $x_0 = 0,5, a_0 = 4,25$
Изобразим в координатах (x; a):

[рис.]
Уравнение имеет ровно три корня при $a=0, a= \frac{25}{12}$