Пусть $t=3x + |x - a| + |2x + a + 1|$ тогда получим

$t ^2 - at + a ^2 - 16=0 ( * )$

Проанализируем сделанную замену. Раскроем модули, рассмотрев четыре случая:

$t=3x + x - a + 2x + a + 1 = сильно t=6x + 1$
$t=3x + x - a - 2x - a - 1 = сильно t=2x - 2a - 1$
$t=3x - x + a + 2x + a + 1 = сильно t=4x + 2a + 1$
$t=3x - x + a - 2x - a - 1 = сильно t= - 1$

Значит, функция $t ( x ) =3x + |x - a| + |2x + a + 1|$
— при $$$\begin{cases} x меньше или = a \\[6pt] x меньше или = - $\frac{a + 1}{2}$ \end{cases}$$$ принимает только значение $t= - 1$
— при всех прочих значениях x, то есть при $\left[ \begin{array}{l} x больше или = a, x больше или = - $\frac{a + 1}{2}$ \end{array} \right.$   — неограниченно возрастает.
Тогда каждому значению $t больше - 1$ соответствует ровно одно значение x, значению $t= - 1$   — бесконечное число значений x, а для любого значения $t меньше - 1$   — нет соответствующих значений x. Значит, чтобы исходное уравнение имело ровно один корень, необходимо и достаточно, чтобы уравнение (⁎) имело ровно один корень, удовлетворяющий условию $t больше - 1$ и не имело корня $t= - 1$ Это достигается в двух случаях.
1.  Уравнение (⁎) имеет один корень, тогда

$$$\begin{cases} ( - a ) ^2 - 4 ( a ^2 + 16 ) =0 \\[6pt] - $\frac{ - a}{2}$ больше - 1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a= \pm \frac{8 $\sqrt{3}$}{3} \\[6pt] a больше - 2 \end{cases}$$ . = сильно a= \frac{8 $\sqrt{3}$}{3}$

2.  Уравнение (⁎) имеет два корня, тогда достаточно, чтобы значение квадратного трёхчлена $t ^2 - at + a ^2 - 16$ в точке $t= - 1$ было отрицательным:

$( - 1 ) ^2 - a \cdot ( - 1 ) + a ^2 - 16 меньше 0 = сильно a ^2 + a - 15 меньше 0 = сильно \frac{ - 1 - $\sqrt{аргумента: 61}$ аргумента}{2} меньше a меньше \frac{ - 1 + $\sqrt{аргумента: 61}$ аргумента}{2}$

Ответ: $( \frac{ - 1 - $\sqrt{аргумента: 61}$ аргумента}{2} ; \frac{ - 1 + $\sqrt{аргумента: 61}$ аргумента}{2} ) \cup \{ \frac{8 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{3} \}$