[рис.] Решим задачу графоаналитическим методом. Область допустимых значений неравенства задаётся системой

$$$\begin{cases} x ^2 + a ^2 больше 0 \\[6pt] x - a + 1 больше или = 0. \end{cases}$$$

В системе координат xOa этой системе соответствуют все точки, лежащие не выше прямой $a=x + 1$ за исключением точки $( 0; 0 )$
На ОДЗ левая часть неравенства обращается в нуль при

$\left[ \begin{array}{l} x ^2 + a ^2 =1, x ^2 - a - 1=0, x - a + 1=0 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x ^2 + a ^2 =1, a=x ^2 - 1, a=x + 1. \end{array} \right.$

Первое уравнение совокупности задаёт окружность радиусом 1 с центром в точке $( 0; 0 )$ Второе уравнение совокупности задает параболу с положительным старшим коэффициентом, проходящую через точки $( - 1; 0 )$ $( 1; 0 )$ и $( 2; 3 )$ вершина которой находится в точке $( 0; - 1 )$ Третье уравнение совокупности задает прямую, проходящую через точки $( - 1; 0 )$ $( 0; 1 )$ и $( 2; 3 )$ Прямая, окружность и парабола разбивают ОДЗ на пять областей, внутри которых знак левой части неравенства не меняется.
Выясним, выполняется ли неравенство в точке $( 1; 1 )$ подставив эти значения

$\ln ( 1 ^2 + 1 ^2 ) \cdot ( 1 ^2 - 1 - 1 ) \cdot $\sqrt{аргумента: 1 - 1 + 1}$ аргумента меньше или = 0$   — верно.

При переходе через параболу поменяется знак второго множителя, при переходе через окружность  — первого. На графике решение неравенства изображено оранжевым цветом. Анализируя график, получаем, что
— при $a меньше - 1$ неравенство имеет ровно одно решение ( $x=a - 1$ );
— при $a= - 1$ неравенство имеет ровно два решения ( $x= - 2$ и $x=0$ );
— при $ - 1 меньше a меньше 0$ неравенство имеет бесконечное число решений;
— при $a=0$ неравенство имеет ровно два решения ( $x= - 1$ и $x=1$ );
— при $0 меньше a меньше 3$ неравенство имеет бесконечное число решений;
— при $a больше или = 3$ неравенство имеет ровно одно решение ( $x=a - 1$ ).

Ответ: $( - бесконечность ; - 1 ] \cup \{ 0 \} \cup [ 3; + бесконечность )$