Преобразуем неравенство:

$\log_{левая} круглая скобка $\frac{1}{a + 1}$ ) ( x ^2 + 2 |a| ) больше 0 = сильно - \log_{левая} круглая скобка a + 1 ) ( x ^2 + 2|a| ) больше 0 = сильно \log_{левая} круглая скобка a + 1 ) ( x ^2 + 2|a| ) меньше 0 = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} $\frac{x ^2 + 2|a| - 1}{a + 1 - 1}$ меньше 0 \\[6pt] a + 1 больше 0 \\[6pt] x ^2 + 2 |a| больше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} $\frac{x ^2 + 2|a| - 1}{a}$ меньше 0 \\[6pt] a больше - 1 \\[6pt] 2|a| больше - x ^2 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} $\frac{x ^2 + 2|a| - 1}{2a}$ меньше 0 \\[6pt] 2a больше - 2. \end{cases}$$$

[рис.]
Пусть $b=2a$ тогда получим систему

$$$\begin{cases} $\frac{x ^2 + |b| - 1}{b}$ меньше 0 \\[6pt] ( * ) b больше - 2. \end{cases}$$$

Изобразим в системе координат xOb множество точек удовлетворяющих полученной системе. Графики уравнений $x ^2 + |b| - 1=0$ и $b=0$ разбивают плоскость xOb на четыре части, в каждой из которых левая часть неравенства (⁎) сохраняет знак (розовым цветом выделены точки, в которых значение выражения $\frac{x ^2 + |b| - 1}{b}$ положительно, а голубым цветом те, в которых отрицательно). Анализируя график, получаем, что неравенство выполняется при любых значениях x тогда и только тогда, когда $ - 2 меньше b меньше - 1$ Возвращаясь к параметру a, получаем

$ - 2 меньше 2a меньше - 1 = сильно - 1 меньше a меньше - \frac{1}{2}$

Ответ: $( - 1; - $\frac{1}{2}$ )$