Преобразуем первое уравнение системы:

$( xy ^2 - 2xy - 6y + 12 ) $\sqrt{аргумента: 6 - x}$ аргумента =0 = сильно ( xy ( y - 2 ) - 6 ( y - 2 ) ) $\sqrt{аргумента: 6 - x}$ аргумента =0 = сильно$

$ = сильно ( xy - 6 ) ( y - 2 ) $\sqrt{аргумента: 6 - x}$ аргумента =0 = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} y= $\frac{6}{x}$ \\[6pt] y=2 \\[6pt] x=6 \end{cases}$$ .x меньше или = 6. \end{array} \right.$

Исходная система имеет ровно три различных решения тогда и только тогда, когда графики функций $y= \frac{6}{x}$ и $y=2$ и прямая $x=6$ имеют с прямой $y=ax$ три различных точки пересечения на области $x меньше или = 6$ (см. рис.). [рис.]
Из рисунка видно, что при $a меньше 0$ два решения, при $a=0$ одно решение, при $0 меньше a меньше или = \frac{1}{6}$ два решения, при $\frac{1}{6} меньше a меньше или = \frac{1}{3}$ три решения, при $\frac{1}{3} меньше a меньше \frac{2}{3}$ четыре решения, при $a= \frac{2}{3}$ три решения, при $a больше \frac{2}{3}$ четыре решения.

Ответ: $( $\frac{1}{6}$ ; $\frac{1}{3}$ ] \cup \{ $\frac{2}{3}$ \}$