Система имеет имеет смысл при $x больше 0, x не = 1, y больше 0, y не = 1$ На ОДЗ преобразуем второе уравнение системы:

$\frac{1}{\log_{x} 2} + \frac{1}{\log_{y} 2} =1\undersetОДЗ\mathop = сильно \log_{2} x + \log_{2} y=1 \undersetОДЗ\mathop = сильно \log_{2} xy=1 = сильно xy=2 = сильно y= \frac{2}{x}$ $\frac{1}{\log_{x} 2} + \frac{1}{\log_{y} 2} =1\undersetОДЗ\mathop = сильно \log_{2} x + \log_{2} y=1 \undersetОДЗ\mathop = сильно$
$\undersetОДЗ\mathop = сильно \log_{2} xy=1 = сильно xy=2 = сильно y= \frac{2}{x}$

Решим систему графически. В системе координат xOy графиком первого уравнения является пучок прямых, проходящих через точку $( 3;0 )$ (см. рис., выделено синим, зеленым, красным). Графиком второго уравнения системы является правая ветвь гиперболы $y= \frac{2}{x}$ с выколотыми точками $( 1;2 )$ и $( 2;1 )$ (на рисунке изображено оранжевым цветом). В зависимости от значения параметра a прямая и гипербола могут не иметь общих точек или иметь одну или две общие точки.
[рис.]
При $a= - 1$ прямая $y=a ( x - 3 )$ изображенная на на рисунке зелёным цветом, проходит через выколотые точки гиперболы: точки $( 1;2 )$ и $( 2;1 )$ При $a=0$ прямая $y=a ( x - 3 )$ на рисунке изображенная красным цветом, является асимптотой гиперболы. Значит, система не имеет решений при $a= - 1$ или $a_1 меньше a\leqslant0$ где $a_1$   — значение параметра, при котором прямая касается гиперболы (на рисунке изображено синим цветом).
Прямая и гипербола имеют общие точки, если имеет решение уравнение

$\frac{2}{x} =a ( x - 3 ) = сильно ax ^2 - 3ax - 2=0$

Прямая касается гиперболы, если дискриминант $D=9a ^2 + 8a$ этого уравнения равен нулю. Тогда $a_1= - \frac{8}{9}$
Следовательно, система не имеет решений при $a= - 1$ или $ - $\frac{8}{9}$ меньше a\leqslant0$

Ответ: $\{ - 1 \} \cup ( - $\frac{8}{9}$ ;0 ]$

Примечание.
Дополнительно отметим, что при $a меньше - 1$ или $ - 1 меньше a меньше - \frac{8}{9}$ система имеет два решения, а при $a= - \frac{8}{9}$ или $a больше 0$   — одно решение.