[рис.] Перепишем первое уравнение в виде

$( ( x + 3 ) ^2 + y ^2 - 3 ^2 ) $\sqrt{аргумента: x + y + 6}$ аргумента =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x + y + 6=0, $$\begin{cases} ( x + 3 ) ^2 + y ^2 = 3 ^2 \\[6pt] x + y + 6 больше 0. \end{cases}$$ . \end{array} \right.$

Графиком этой совокупности является объединение прямой $y= - x - 6$ и дуги окружности радиуса 3 с центром в точке (−3; 0), лежащей выше этой прямой.
Графиком второго уравнения является некоторая прямая, параллельная прямой y  =  x.
Прямые $y = - x - 6$ и $y = x + a$ пересекаются при любом a, поэтому система имеет два решения тогда и только тогда, когда прямая $y = x + a$ касается дуги или пересекает ее ровно один раз.
Прямая $y=x + a$ касается дуги тогда, когда уравнение

$( x + 3 ) ^2 + ( x + a ) ^2 = 3 ^2 = сильно 2x ^2 + 2 ( a + 3 ) x + a ^2 =0$

имеет единственное решение. Это случается при $\frac{D}{4} = ( a + 3 ) ^2 - 2a ^2 = 0$ Получаем:

$a ^2 - 6a - 9 = 0 = сильно a = 3 \pm 3 \sqrt{2}$

Из геометрических соображений ясно, что точки касания расположены именно на дуге.
Непосредственной проверкой убедимся, что концами дуги являются точки (−6; 0) и (−3; −3). Прямая $y = x + a$ проходит через эти точки при a  =  6 и a  =  0 соответственно.
При $0 меньше или = a меньше или = 6$ прямая $y=x + a$ пересекает прямую $y= - x + 6$ а также пересекает один раз дугу, следовательно, исходная система имеет ровно два различных решения.

Ответ: $[ 0; 6 ] \cup \{ 3 \pm3 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \}$