[рис.] Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы. Рассмотрим четыре случая.
1.  Если $x ^2 + 2x\leqslant0$ и $y ^2 + 2y\leqslant0$ то получаем уравнение

$x ^2 - 2x - x ^2 =y ^2 - 2y - y ^2 = сильно y=x$

Полученное уравнение задаёт прямую $y=x$ Случаю удовлетворяют отрезок, расположенный внутри квадрата $2 \times 2$ лежащего в третьей координатной четверти и имеющий вершину в начале координат.
2.  Если $x ^2 + 2x\leqslant0$ и $y ^2 + 2y\geqslant0$ то получаем уравнение

$x ^2 - 2x - x ^2 =y ^2 + 2y + y ^2 = сильно x= - y ^2 - y$

Полученное уравнение задаёт параболу $x= - y ^2 - y$ Случаю удовлетворяет только дуга, лежащая выше оси Ox и расположенная между прямыми $x=0$ и $x= - 2$
3.  Если $x ^2 + 2x больше или = 0$ и $y ^2 + 2y\leqslant0$ получаем уравнение

$x ^2 + 2x + x ^2 =y ^2 - 2y - y ^2 = сильно y= - x ^2 - x$

Полученное уравнение задаёт параболу $y= - x ^2 - x$ Случаю удовлетворяет только дуга, лежащая правее оси Oy и заключенная между прямыми $y=0$ и $y= - 2$
4.  Если $x ^2 + 2x\geqslant0$ и $y ^2 + 2y\geqslant0$ получаем уравнение

$x ^2 + 2x + x ^2 =y ^2 + 2y + y ^2 = сильно 2y ^2 + 2y - 2x ^2 - 2x=0 = сильно ( y - x ) ( y + 1 + x ) =0$ $x ^2 + 2x + x ^2 =y ^2 + 2y + y ^2 = сильно$
$ = сильно 2y ^2 + 2y - 2x ^2 - 2x=0 = сильно ( y - x ) ( y + 1 + x ) =0$

Полученное уравнение задаёт пару прямых $y=x$ и $y= - x - 1$ Случаю удовлетворяют лучи этих прямых, расположенные вне полос $ - 2 меньше x меньше 0$ и $ - 2 меньше y меньше 0$
Второе уравнение системы задаёт прямую m с коэффициентом угла наклона, равным  –1. Определим количество точек пересечения этой прямой а графиком Г первого уравнения системы.
При a  =  −1 прямая m совпадает с частью Г, а потому исходная система имеет бесконечное число решений.
При a  =  0 прямая m касается части графика Г, то есть исходная система имеет одно решение.
При $ - 1 меньше a меньше 0$ прямая m пересекает график Г в трех точках точках, а значит, исходная система имеет три решения.
При $a больше 0$ или при $a меньше - 1$ прямая m пересекает график Г в одной точке.
Таким образом, исходная система имеет более двух решений при $ - 1 меньше или = a меньше 0$

Ответ: $ - 1 меньше или = a меньше 0$