[рис.] Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы. Рассмотрим четыре случая.
1.  Если $x ^2 - 1 меньше или = 0$ и $y ^2 - 1 меньше или = 0$ то получаем уравнение:

$1 - x ^2 - 2 x - x ^2 =1 - y ^2 - 2 y - y ^2 = сильно y ^2 - x ^2 + y - x=0 = сильно ( y - x ) ( x + y + 1 ) =0$ $1 - x ^2 - 2 x - x ^2 =1 - y ^2 - 2 y - y ^2 = сильно$
$ = сильно y ^2 - x ^2 + y - x=0 = сильно ( y - x ) ( x + y + 1 ) =0$

Полученное уравнение задаёт две прямых: $y=x$ и $y= - x - 1$
2.  Если $x ^2 - 1 меньше или = 0$ и $y ^2 - 1 больше или = 0$ то получаем уравнение:

$1 - x ^2 - 2 x - x ^2 =y ^2 - 1 - 2 y - y ^2 = сильно y=x ^2 + x - 1$

Полученное уравнение задаёт параболу $y=x ^2 + x - 1$
3.  Если $x ^2 - 1 больше или = 0$ и $y ^2 - 1 меньше или = 0$ то получаем уравнение:

$x ^2 - 1 - 2 x - x ^2 =1 - y ^2 - 2 y - y ^2 = сильно x=y ^2 + y - 1$

Полученное уравнение задаёт параболу $x=y ^2 + y - 1$
4.  Если $x ^2 - 1 больше или = 0$ и $y ^2 - 1 больше или = 0$ то получаем уравнение:

$x ^2 - 1 - 2 x - x ^2 =y ^2 - 1 - 2 y - y ^2 = сильно y=x$

Полученное уравнение задаёт прямую $y=x$ Точки A(−1; 0), B(0; −1) и C(−1; −1) являются точками пересечения полученных парабол с полученными прямыми и лежат на прямых $x = - 1$ и/или $y = - 1$ поэтому искомое множество состоит из прямой l, задаваемой уравнением $y=x$ отрезка AB прямой $x + y= - 1$ дуги $\omega_1$ параболы $y=x ^2 + x - 1$ с концами в точках B и C и дуги $\omega_2$ параболы $x=y ^2 + y - 1$ с концами в точках A и C (см. рис.).
Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, параллельную прямой AB или совпадающую с ней.
Заметим, что при $a= - 2$ прямая m касается парабол $x=y ^2 + y - 1$ и $y=x ^2 + x - 1$ в точке C.
При $a = - 1$ прямая m содержит отрезок AB, то есть исходная система имеет бесконечное число решений.
При $a = - 2$ прямая m касается дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ в точке C, пересекает прямую l в точке C и не пересекает отрезок AB, то есть исходная система имеет одно решение.
При $ - 2 меньше a меньше - 1$ прямая m не пересекает отрезок AB, пересекает прямую l в точке, отличной от точки C, и пересекает каждую из дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ в одной точке, отличной от точки C, то есть исходная система имеет три решения.
При $a меньше - 2$ или $a больше - 1$ прямая m пересекает прямую l в одной точке и не пересекает дуги $\omega_1$ и $\omega_2$ и отрезок AB, то есть исходная система имеет одно решение.
Значит, исходная система имеет больше двух решений при $ - 2 меньше a \leqslant - 1$

Ответ: $ - 2 меньше a \leqslant - 1$

Примечание редакции Решу ЕГЭ.
Утверждение «при a  =  −2 прямая m, касается парабол», используемое авторами в официальных критериях, далеко не очевидно и нуждается в обосновании. Можно предложить такие варианты его обоснования.
1.  Найти касательную к одной из кривых в этой точке и показать, что она совпадает с прямой m. В силу симметрии всего рисунка относительно y= x для второй кривой m так же будет касательной.
2.  Можно использовать свойство: касательная к параболе с вертикальной осью симметрии пересекает горизонтальный отрезок, соединяющий вершину и точку на вертикальной прямой, проходящей через точку касания, в его середине. Достаточно показать, что прямая $y = - x - 2$ отвечает этому требованию для обеих парабол.