Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
$$$\begin{cases} 3 x y + 3 a x - a y - a ^2 - 3=0 \\[6pt] 9 x ^2 + 9 y ^2 - 6 a x + 18 a y + 7 a ^2 - 2 a - 17=0 \end{cases}$$$
имеет ровно два различных решения.
$$$\begin{cases} 3 x y + 3 a x - a y - a ^2 - 3=0 \\[6pt] 9 x ^2 + 9 y ^2 - 6 a x + 18 a y + 7 a ^2 - 2 a - 17=0 \end{cases}$$$
имеет ровно два различных решения.
💡 Пошаговый разбор и решение:
Преобразуем систему:
$$$\begin{cases} 3x ( y + a ) - a ( y + a ) - 3 = 0 \\[6pt] ( 3x - a ) ^2 + 9 ( y + a ) ^2 - 3a ^2 - 2a - 17 = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} ( 3x - a ) ( y + a ) = 3 \\[6pt] ( 3x - a ) ^2 + 9 ( y + a ) ^2 = 3a ^2 + 2a + 17. \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} 3x ( y + a ) - a ( y + a ) - 3 = 0 \\[6pt] ( 3x - a ) ^2 + 9 ( y + a ) ^2 - 3a ^2 - 2a - 17 = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} ( 3x - a ) ( y + a ) = 3 \\[6pt] ( 3x - a ) ^2 + 9 ( y + a ) ^2 = 3a ^2 + 2a + 17. \end{cases}$$$
Обозначив $u = 3x - a$ и $v = y + a$ получим = сильную систему с таким же количеством решений, так как u и υ суть линейные выражения. Тогда:
$$$\begin{cases} u \cdot v = 3 \\[6pt] u ^2 + 9 v ^2 = 3a ^2 + 2a + 17 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} u = $\frac{3}{v}$ \\[6pt] $\frac{9}{v ^2}$ + 9 v ^2 = 3a ^2 + 2a + 17. \end{cases}$$$
На последнем шаге мы воспользовались тем, что $u не = 0$ и $v не = 0$ поскольку произведение этих величин = 3.
[рис.]
Обозначим $t = v ^2$ $t больше 0$ получим: $\frac{9}{t} + 9t = 3a ^2 + 2a + 17$ Чтобы найти, при каких значениях параметра исходная система имеет ровно два различных решения, нужно найти, при каких a последнее уравнение имеет единственное решение.
Решим эту часть графическим методом. График функции $f ( t ) = t + \frac{1}{t}$ известен, наименьшее значений этой функции при $t больше 0$ = 2. График функции $y = 9 ( t + $\frac{1}{t}$ )$ получается из него растяжением в 9 раз вдоль оси ординат (см. рис.). Поэтому $\min_t больше 0 y ( t ) = 18$ Прямая $y = 3a ^2 + 2a + 17$ имеет единственное пересечение с этим графиком при $y = 18$ Таким образом,
$3a ^2 + 2a + 17 = 18 = сильно 3a ^2 + 2a - 1 = 0 = сильно a ^2 + $\frac{2}{3}$ a - $\frac{1}{3}$ = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} a = - 1, a = $\frac{1}{3}$ . \end{array} \right.$ $3a ^2 + 2a + 17 = 18 = сильно 3a ^2 + 2a - 1 = 0 = сильно$
$ = сильно a ^2 + $\frac{2}{3}$ a - $\frac{1}{3}$ = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} a = - 1, a = $\frac{1}{3}$ . \end{array} \right.$
Ответ: $\{ - 1; $\frac{1}{3}$ \}$
$$$\begin{cases} 3x ( y + a ) - a ( y + a ) - 3 = 0 \\[6pt] ( 3x - a ) ^2 + 9 ( y + a ) ^2 - 3a ^2 - 2a - 17 = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} ( 3x - a ) ( y + a ) = 3 \\[6pt] ( 3x - a ) ^2 + 9 ( y + a ) ^2 = 3a ^2 + 2a + 17. \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} 3x ( y + a ) - a ( y + a ) - 3 = 0 \\[6pt] ( 3x - a ) ^2 + 9 ( y + a ) ^2 - 3a ^2 - 2a - 17 = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} ( 3x - a ) ( y + a ) = 3 \\[6pt] ( 3x - a ) ^2 + 9 ( y + a ) ^2 = 3a ^2 + 2a + 17. \end{cases}$$$
Обозначив $u = 3x - a$ и $v = y + a$ получим = сильную систему с таким же количеством решений, так как u и υ суть линейные выражения. Тогда:
$$$\begin{cases} u \cdot v = 3 \\[6pt] u ^2 + 9 v ^2 = 3a ^2 + 2a + 17 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} u = $\frac{3}{v}$ \\[6pt] $\frac{9}{v ^2}$ + 9 v ^2 = 3a ^2 + 2a + 17. \end{cases}$$$
На последнем шаге мы воспользовались тем, что $u не = 0$ и $v не = 0$ поскольку произведение этих величин = 3.
[рис.]
Обозначим $t = v ^2$ $t больше 0$ получим: $\frac{9}{t} + 9t = 3a ^2 + 2a + 17$ Чтобы найти, при каких значениях параметра исходная система имеет ровно два различных решения, нужно найти, при каких a последнее уравнение имеет единственное решение.
Решим эту часть графическим методом. График функции $f ( t ) = t + \frac{1}{t}$ известен, наименьшее значений этой функции при $t больше 0$ = 2. График функции $y = 9 ( t + $\frac{1}{t}$ )$ получается из него растяжением в 9 раз вдоль оси ординат (см. рис.). Поэтому $\min_t больше 0 y ( t ) = 18$ Прямая $y = 3a ^2 + 2a + 17$ имеет единственное пересечение с этим графиком при $y = 18$ Таким образом,
$3a ^2 + 2a + 17 = 18 = сильно 3a ^2 + 2a - 1 = 0 = сильно a ^2 + $\frac{2}{3}$ a - $\frac{1}{3}$ = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} a = - 1, a = $\frac{1}{3}$ . \end{array} \right.$ $3a ^2 + 2a + 17 = 18 = сильно 3a ^2 + 2a - 1 = 0 = сильно$
$ = сильно a ^2 + $\frac{2}{3}$ a - $\frac{1}{3}$ = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} a = - 1, a = $\frac{1}{3}$ . \end{array} \right.$
Ответ: $\{ - 1; $\frac{1}{3}$ \}$
Правильный ответ:
$левая фигурная скобка минус 1; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая фигурная скобка$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 66378 • Задание №9
Небольшой мячик бросают под острым углом $альфа$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высо...
ID 68980 • Задание №15
Решите неравенство $корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 4 конец аргумента умножить на 4 в степени ...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения,
ИЛИ
в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений
| 2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений,
ИЛИ
в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения,
ИЛИ
в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений
| 2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений,
ИЛИ
в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №18 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 70718
Найдите все значения k, при каждом из которых уравнение
$дробь: числитель: 6k минус левая круг...
ID 70719
Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение $логарифм по основанию левая круглая с...
ID 70720
Найдите все значения a, при которых уравнение
$левая круглая скобка логарифм по основанию 8 ле...
ID 70721
Найдите наименьшее натуральное значение a, при котором расстояние между наибольшим и наименьшим...
ID 70722
Найдите все значения a, при которых уравнение
$левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x плюс ...