[рис.] Преобразуем первое уравнение системы:

$( y - x ^2 - x - 1 ) \cdot ( x ^2 - 3xy + 4y ^2 ) \cdot ( x + y - 1 ) = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} y - x ^2 - x - 1=0, x ^2 - 3xy + 4y ^2 =0, x + y - 1=0 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} y=x ^2 + x + 1, ( x - $\frac{3}{2}$ y ) ^2 + $\frac{7}{4}$ y ^2 =0 , y= - x + 1. \end{array} \right.$

В системе координат xOy графиком первого уравнения совокупности является парабола $y=x ^2 + x + 1$ графиком второго уравнения  —  точка  $( 0; 0 )$ графиком третьего уравнения  — прямая $y= - x + 1$ Графиком второго уравнения исходной системы является семейство прямых $y = ( 2a + 1 ) \cdot x - a ^2 + 1$ Рассмотрим взаимное расположение графиков.
Найдём точки пересечения графиков функций $y=x ^2 + x + 1$ и $y= - x + 1:$

$x ^2 + x + 1= - x + 1 = сильно x ^2 + 2x=0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x=0, x= - 2. \end{array} \right.$

Значит, графики пересекаются в точках $( 0; 1 )$ и $( - 2; 3 )$
Найдём точки пересечения графиков функций $y=x ^2 + x + 1$ и $y = ( 2a + 1 ) \cdot x - a ^2 + 1:$

$x ^2 + x + 1= ( 2a + 1 ) \cdot x - a ^2 + 1 = сильно x ^2 + x=2ax + x - a ^2 = сильно ( x - a ) ^2 =0 = сильно x=a$

Значит, при любом значении параметра a прямая $y = ( 2a + 1 ) \cdot x - a ^2 + 1$ является касательной к параболе $y=x ^2 + x + 1$ в точке $( a; a ^2 + a + 1 )$
Найдём значения параметра a, при которых прямая $y = ( 2a + 1 ) \cdot x - a ^2 + 1$ проходит через точку $( 0; 0 ) :$

$0 = ( 2a + 1 ) \cdot 0 - a ^2 + 1 = сильно a= \pm 1$

Найдём значения параметра a, при которых прямая $y = ( 2a + 1 ) \cdot x - a ^2 + 1$ параллельна или совпадает с прямой $y= - x + 1$ приравняв угловые коэффициенты. Получаем: $2a + 1= - 1$ откуда $a= - 1$ При $a= - 1$ получаем:

$y = ( 2 \cdot ( - 1 ) + 1 ) \cdot x - ( - 1 ) ^2 + 1 = сильно y= - x$

значит, прямые параллельны. При остальных значениях параметра a

$( 2a + 1 ) \cdot x - a ^2 + 1= - x + 1 = сильно x= \frac{a ^2}{2a + 2}$

прямые имеют одну общую точку $( $\frac{a ^2}{2a + 2}$ ; $\frac{2a + 2 - a ^2}{2a + 2}$ )$
Таким образом, прямая $y = ( 2a + 1 ) \cdot x - a ^2 + 1$ имеет с графиком первого уравнения исходной системы
—  при $a= - 2$ одну общую точку $( - 2; 1 )$
—  при $a=0$ одну общую точку $( 0; 1 )$
—  при $a=1$ три общие точки $( 0; 0 )$ $( 1; 3 )$ и $( $\frac{1}{4}$ ; $\frac{3}{4}$ )$
—  при всех остальных значениях параметра a две общие точки $( a; a ^2 + a + 1 )$ и $( $\frac{a ^2}{2a + 2}$ ; $\frac{2a + 2 - a ^2}{2a + 2}$ )$
Ответ: $( - бесконечность ; - 2 ) \cup ( - 2; 0 ) \cup ( 0; 1 ) \cup ( 1; + бесконечность )$