[рис.] Преобразуем систему:

$$$\begin{cases} x меньше или = 2a + 6 \\[6pt] 6x больше или = x ^2 + a ^2 \\[6pt] x + a больше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x - 6 меньше или = 2a \\[6pt] x ^2 - 6x + 9 + a ^2 меньше или = 9 \\[6pt] a больше - x \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a больше или = $\frac{x}{2}$ - 3 \\[6pt] ( x - 3 ) ^2 + a ^2 меньше или = 3 ^2 \\[6pt] a больше - x. \end{cases}$$$

В осях xOa изобразим множество точек, координаты которых удовлетворяют полученной системе (выделено синим). Это точки, лежащие одновременно
— не ниже прямой $a = $\frac{x}{2}$ - 3$
— на окружности радиусом 3 с центром в точке $( 3; 0 )$ и внутри неё,
— выше прямой $a= - x$
Точка А  — точка окружности $( x - 3 ) ^2 + a ^2 меньше 9$ с абсциссой 2 и положительной ординатой. Точка В  — точка пересечения прямых $a= - x$ и $a = $\frac{x}{2}$ - 3$
Для точки A:

$$$\begin{cases} ( x - 3 ) ^2 + a ^2 меньше 3 ^2 \\[6pt] x=2 \\[6pt] a больше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x=2 \\[6pt] a=2 $\sqrt{2}$ . \end{cases}$$$

Для точки B:

$$$\begin{cases} a = $\frac{x}{2}$ - 3 \\[6pt] a= - x \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x=2 \\[6pt] a= - 2. \end{cases}$$$

На отрезке [1; 2] система имеет хотя бы одно решение при $a_B меньше a меньше или = a_A$ где aA и aB  — ординаты точек А и В соответственно. Таким образом, условие задачи выполнено при $ - 2 меньше a меньше или = 2 \sqrt{2}$

Ответ: $( - 2 ; 2 $\sqrt{2}$ ]$