[рис.] Используя тождество $\sqrt{аргумента: a ^2} аргумента = |a|$ получаем:

$$$\begin{cases} \frac{( y + $\sqrt{аргумента: ( x + 2 ) ^2}$ аргумента ) ( y + $\sqrt{аргумента: ( x + 2 ) ^2}$ аргумента - 6 )}{$\sqrt{аргумента: x ^2 - 2x}$ аргумента + 5} = 0 \\[6pt] y - x ( x + 4 ) + a ^2 = 6a - 10 \end{cases}$$ = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} ( y + |x + 2| ) ( y + |x + 2| - 6 ) =0 \\[6pt] x ^2 - 2x больше или = 0 \\[6pt] y=x ^2 + 4x - a ^2 + 6a - 10 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} y= - |x + 2| \\[6pt] y=6 - |x + 2| \end{cases}$$ . совокупность выражений x меньше или = 0, x больше или = 2, \end{array} \right. . y= ( x + 2 ) ^2 - a ^2 + 6a - 14. конец совокупности$

Изобразим на плоскости xOy части графиков уравнений $y= - |x + 2|$ и $y=6 - |x + 2|$ соответствующие $x меньше или = 0$ и $x больше или = 2$ (эти части выделены на рисунке оранжевым). Графиком уравнения $y= ( x + 2 ) ^2 + b$ где $b= - a ^2 + 6a - 14$ является семейство парабол со старшим коэффициентом 1 и вершиной в точке $( - 2; b )$ Если парабола проходит через точку $A ( 0; 4 )$ то $b=0$ (выделено синим), если через точку $B ( 0; - 2 )$ то $b= - 6$ (выделено зелёным), если через точку $C ( 2; 2 )$ (выделено фиолетовым), то $b= - 14$ если через точку $D ( 2; - 4 )$ то $b= - 20$ (выделено красным пунктиром). Анализируя графики, получаем, что система имеет:
— при $b меньше или = - 20$ четыре решения;
— при $ - 20 меньше b меньше или = - 14$ три решения;
— при $ - 14 меньше b меньше - 6$ два решения;
— при $ - 6 меньше или = b \leqslant0$ три решения;
— при $b больше 0$ менее трёх решений.
Таким образом, условие задачи выполнено при

$\left[ \begin{array}{l} - 20 меньше - a ^2 + 6a - 14 меньше или = - 14, - 6 меньше или = - a ^2 + 6a - 14 меньше или = 0 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} - 20 меньше - ( a - 3 ) ^2 - 5 меньше или = - 14, - 6 меньше или = - ( a - 3 ) ^2 - 5 меньше или = 0 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} - 15 меньше - ( a - 3 ) ^2 меньше или = - 9, - 1 меньше или = - ( a - 3 ) ^2 \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} 9 меньше или = ( a - 3 ) ^2 меньше 15, ( a - 3 ) ^2 меньше или = 1 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} 3 меньше или = |a - 3| меньше $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента , |a - 3| меньше или = 1 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} - $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента меньше a - 3 меньше или = - 3, - 1 меньше или = a - 3 меньше или = 1 , 3 меньше или = a - 3 меньше $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} 3 - $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента меньше a меньше или = 0, 2 меньше или = a меньше или = 4 , 6 меньше или = a меньше 3 + $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента . \end{array} \right.$

Ответ: $( 3 - $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента ; 0 ] \cup [ 2; 4 ] \cup [ 6; 3 + $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента )$