Заметим, что если число $x_0$ является решением данного уравнения, то и число $ - x_0$ является решением этого уравнения. Чтобы у данного уравнения был ровно один корень, этим корнем должно быть число 0, а других корней уравнение иметь не должно. Найдём при каких значениях параметра a, число 0 является корнем:

$корень 4 степени из: начало аргумента: a в степени 4 + 0 в степени 4 конец аргумента = \cos \dfrac02 + a ^2 - 2a + 1 = сильно |a|=a ^2 - 2a + 2 = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} a больше или = 0 \\[6pt] a ^2 - 3a + 2=0 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} a меньше 0 \\[6pt] a ^2 - a + 2=0 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} a=1, a=2. \end{array} \right.$

Выясним число корней уравнения при найденных значениях параметра.
При $a=1$ получаем

$корень 4 степени из: начало аргумента: 1 в степени 4 + x в степени 4 конец аргумента = \cos \dfracx2 + 1 ^2 - 2 \cdot 1 + 1 = сильно корень 4 степени из: начало аргумента: 1 + x в степени 4 конец аргумента = \cos \dfracx2$

Левая часть полученного уравнения не меньше 1, а правая не больше 1. Равенство достигается только при

$$$\begin{cases} корень 4 степени из: начало аргумента: 1 + x в степени 4 конец аргумента =1 \\[6pt] \cos \dfracx2=1 \end{cases}$$ . = сильно x=0$

значит, при $a=1$ условие задачи выполнено.
При $a=2$ получаем

$корень 4 степени из: начало аргумента: 2 в степени 4 + x в степени 4 конец аргумента = \cos \dfracx2 + 2 ^2 - 2 \cdot 2 + 1 = сильно корень 4 степени из: начало аргумента: 2 в степени 4 + x в степени 4 конец аргумента = \cos \dfracx2 + 1$

Левая часть полученного уравнения не меньше 2, а правая не больше 2. Равенство достигается только при

$$$\begin{cases} корень 4 степени из: начало аргумента: 2 в степени 4 + x в степени 4 конец аргумента =2 \\[6pt] \cos \dfracx2 + 1=2 \end{cases}$$ . = сильно x=0$

значит, при $a=2$ условие задачи выполнено.

Ответ: $\{ 1; 2 \}$