Пусть $y= \frac{x ^2 - 6x - 7a}{2}$ тогда $x ^2 =2y + 6x + 7a$ и уравнение принимает вид

$\sin ( x + 4a ) + \sin y=4x - ( 2y + 6x + 7a ) - a = сильно 2y + \sin y = 2 ( - 4a - x ) + \sin ( - x - 4a )$ $\sin ( x + 4a ) + \sin y=4x - ( 2y + 6x + 7a ) - a = сильно$
$ = сильно 2y + \sin y = 2 ( - 4a - x ) + \sin ( - x - 4a )$

Заметим, что уравнение имеет вид $f ( y ) =f ( - 4a - x )$ для $f ( t ) =2t + \sin t$ Производная $f' ( t ) =2 + \cos t$ положительна при всех t, поэтому функция $f ( t )$ возрастает на всей числовой прямой. Тогда уравнение $f ( - 4a - x ) =f ( y )$ = сильно уравнению $ - 4a - x=y$
Вернемся к исходной переменной:

$ - 4a - x= $\frac{x ^2 - 6x - 7a}{2}$ = сильно - 8a - 2x=x ^2 - 6x - 7a = сильно x ^2 - 4x + a=0$

Полученное уравнение, а вместе с них и исходное, не имеет действительных решений, если его дискриминант отрицателен, откуда $a больше 4$

Ответ: $a больше 4$