Запишем уравнение в виде $9|x - 1| - 4x + |3x - |x + a||=0$ Функция $f ( x ) =9|x - 1| - 4x + |3x - |x + a|$ непрерывна и неограниченно возрастает при $x больше или = 1$ поскольку при любом раскрытии модулей

$f ( x ) =9x - 9 - 4x\pm3x \pm x \pm a = kx + m$

где $k больше или = 9 - 4 - 4=1 больше 0$ При $x меньше или = 1$ функция f убывает, поскольку при любом раскрытии модулей

$f ( x ) = - 9x + 9 - 4x\pm3x \pm x \pm a = kx + m$

где $k меньше или = - 9 - 4 + 4= - 9 меньше 0$ Следовательно, наименьшее значение функция f принимает при x  =  1, и уравнение f(x)  =  0 будет иметь корень тогда и только тогда, когда $f ( 1 ) меньше или = 0$
Решим это неравенство:

$|3 - |1 + a||\leqslant4 = сильно - 4 меньше или = |a + 1| - 3 меньше или = 4 = сильно |a + 1| меньше или = 7 = сильно - 7 меньше или = a + 1 меньше или = 7 = сильно - 8 меньше или = a меньше или = 6$ $|3 - |1 + a||\leqslant4 = сильно - 4 меньше или = |a + 1| - 3 меньше или = 4 = сильно$
$ = сильно |a + 1| меньше или = 7 = сильно - 7 меньше или = a + 1 меньше или = 7 = сильно - 8 меньше или = a меньше или = 6$

Ответ: $ - 8 меньше или = a меньше или = 6$