При $0 меньше или = a меньше или = 2 \pi$ справедливы неравенства

$x больше или = 0$ $x \sin ^2 $\frac{a}{2}$ больше или = 0$ $y ^2 $\sqrt{аргумента: x}$ аргумента больше или = 0$ $a ^2 $\sqrt{аргумента: z}$ аргумента больше или = 0$ $0 меньше или = \sin $\frac{a}{2}$ меньше или = 1$

Применяя в левой части второго уравнения исходной системы формулу \sin а тройного угла, получаем:

$x \sin ^2 $\frac{a}{2}$ + y ^2 $\sqrt{аргумента: x}$ аргумента + a ^2 $\sqrt{аргумента: z}$ аргумента + \sin ^2 $\frac{a}{2}$ + \sin $\frac{3}{2}$ a больше или = \sin ^2 $\frac{a}{2}$ + $
$ + 3 \sin $\frac{a}{2}$ - 4 \sin ^3 $\frac{a}{2}$ = - 4 \cdot ( \sin $\frac{a}{2}$ - 1 ) \cdot ( \sin $\frac{a}{2}$ + $\frac{3}{4}$ ) \cdot \sin $\frac{a}{2}$ больше или = 0$ $x \sin ^2 $\frac{a}{2}$ + y ^2 $\sqrt{аргумента: x}$ аргумента + a ^2 $\sqrt{аргумента: z}$ аргумента + \sin ^2 $\frac{a}{2}$ + $
$ + \sin $\frac{3}{2}$ a больше или = \sin ^2 $\frac{a}{2}$ + 3 \sin $\frac{a}{2}$ - 4 \sin ^3 $\frac{a}{2}$ = - $
$ - 4 \cdot ( \sin $\frac{a}{2}$ - 1 ) \cdot ( \sin $\frac{a}{2}$ + $\frac{3}{4}$ ) \cdot \sin $\frac{a}{2}$ больше или = 0$

Неравенство обращается в равенство, лишь если $\sin $\frac{a}{2}$ =1$ или $\sin $\frac{a}{2}$ =0$ то есть при $a = \{ 0; \pi ; 2 \pi \}$
Выделяя в первом уравнении исходной системы полные квадраты, получаем:

$$$\begin{cases} ( x + z ) ^2 + ( y + z ) ^2 = \sin a \\[6pt] a принадлежит \{ 0 \\[6pt] \pi \\[6pt] 2 \pi \} . \end{cases}$$$

Для найденных значений параметра $\sin a = 0$ поэтому оба уравнения системы выполняются, например, при $x=y=z=0$

Ответ: 0, π, 2π.

Примечание.
Это задание впервые было предложено для поступающих на механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова в 1995 году.