Запишем функцию в виде $y = f ( x ) = \frac{5a + 10 ( 5 - a ) x}{( 5x + a ) ^2 + 16}$ Её областью определения является вся числовая прямая, поскольку знаменатель не обращается в ноль. Данная функция непрерывна на всей числовой прямой.
При x стремящемся к $ + бесконечность$ или $ - бесконечность$ значение функции $f ( x ) = \frac{5a + 10 ( 5 - a ) x}{( 5x + a ) ^2 + 16}$ стремится к 0. Учитывая поведение функции на $ + бесконечность$ и $ - бесконечность$ и наличие двух критических точек  — точки минимума и точки максимума, следует, что множеством значений функции является отрезок. Тогда, для того чтобы множество значений функции содержало отрезок [0; 1], оно должно содержать точки 0 и 1. Таким образом, условие задачи выполнено для тех и только тех значений a, для которых имеют решения уравнения $f ( x ) = $\frac{5a + 10 ( 5 - a ) x}{( 5x + a ) ^2 + 16}$ = 0$ и $f ( x ) = $\frac{5a + 10 ( 5 - a ) x}{( 5x + a ) ^2 + 16}$ = 1$
Первое уравнение:

$\frac{5a + 10 ( 5 - a ) x}{( 5x + a ) ^2 + 16} = 0 = сильно 10 ( a - 5 ) x = 5a = сильно x = \frac{a}{2 ( a - 5 )}$

Уравнение имеет решение при любом a ≠ 5.
Второе уравнение:

$\frac{5a + 10 ( 5 - a ) x}{( 5x + a ) ^2 + 16} = 1 = сильно 25x ^2 + 10 ( 2a - 5 ) x + a ^2 - 5a + 16 = 0$

Уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен:

$D = 100 ( 2a - 5 ) ^2 - 100 ( a ^2 - 5a + 16 ) больше или = 0 = сильно 100 ( 4a ^2 - 20a + 25 - a ^2 + 5a - 16 ) больше или = 0 = сильно$
$ = сильно 300 ( a ^2 - 5a + 3 ) больше или = 0 = сильно ( a - \frac{5 + $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} ) ( a - \frac{5 - $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} ) больше или = 0$ $D = 100 ( 2a - 5 ) ^2 - 100 ( a ^2 - 5a + 16 ) больше или = 0 = сильно$
$ = сильно 100 ( 4a ^2 - 20a + 25 - a ^2 + 5a - 16 ) больше или = 0 = сильно 300 ( a ^2 - 5a + 3 ) больше или = 0 = сильно$
$ = сильно ( a - \frac{5 + $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} ) ( a - \frac{5 - $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} ) больше или = 0$ $D = 100 ( 2a - 5 ) ^2 - 100 ( a ^2 - 5a + 16 ) больше или = 0 = сильно$
$ = сильно 100 ( 4a ^2 - 20a + 25 - a ^2 + 5a - 16 ) больше или = 0 = сильно$
$ = сильно 300 ( a ^2 - 5a + 3 ) больше или = 0 = сильно ( a - \frac{5 + $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} ) ( a - \frac{5 - $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} ) больше или = 0$ $D = 100 ( 2a - 5 ) ^2 - 100 ( a ^2 - 5a + 16 ) больше или = 0 = сильно$
$ = сильно 100 ( 4a ^2 - 20a + 25 - a ^2 + 5a - 16 ) больше или = 0 = сильно$
$ = сильно 300 ( a ^2 - 5a + 3 ) больше или = 0 = сильно$
$ = сильно ( a - \frac{5 + $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} ) ( a - \frac{5 - $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} ) больше или = 0$

Решением этого неравенства являются множества $( - бесконечность ; \frac{5 - $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} ]$ и $[ \frac{5 + $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} ; + бесконечность )$ Следовательно, условию задачи удовлетворяют значения $a принадлежит ( - бесконечность ; \frac{5 - $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} ] \cup [ \frac{5 + $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} ; 5 ) \cup ( 5 ; + бесконечность )$

Ответ: $( - бесконечность ; \frac{5 - $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} ] \cup [ \frac{5 + $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} ; 5 ) \cup ( 5 ; + бесконечность )$