Обозначим $y = x ^2 - 4ax + a ( 4a - 1 )$ получим квадратное уравнение с параметром: $y ^2 - 3y - |a| ( |a| - 3 ) = 0$ Оно имеет не больше двух корней. Чтобы найти их, запишем уравнение в виде

$y ( y - 3 ) = |a| ( |a| - 3 )$

Очевидно, что $y = |a|$ или $y = 3 - |a|$ и других корней нет (также можно было воспользоваться теоремой, обратной теореме Виета). Далее выделим полный квадрат, получаем:

$\left[ \begin{array}{l} x ^2 - 4ax + a ( 4a - 1 ) =3 - |a|,x ^2 - 4ax + a ( 4a - 1 ) =|a| \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x ^2 - 4ax + 4a ^2 =3 - |a| + a,x ^2 - 4ax + 4a ^2 =|a| + a \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} ( x - 2a ) ^2 =3 - |a| + a, ( x - 2a ) ^2 =|a| + a \end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{l} x ^2 - 4ax + a ( 4a - 1 ) =3 - |a|,x ^2 - 4ax + a ( 4a - 1 ) =|a| \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} x ^2 - 4ax + 4a ^2 =3 - |a| + a,x ^2 - 4ax + 4a ^2 =|a| + a \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} ( x - 2a ) ^2 =3 - |a| + a, ( x - 2a ) ^2 =|a| + a \end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{l} x ^2 - 4ax + a ( 4a - 1 ) =3 - |a|,x ^2 - 4ax + a ( 4a - 1 ) =|a| \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} x ^2 - 4ax + 4a ^2 =3 - |a| + a,x ^2 - 4ax + 4a ^2 =|a| + a \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} ( x - 2a ) ^2 =3 - |a| + a, ( x - 2a ) ^2 =|a| + a \end{array} \right.$

Пусть $( x - 2a ) ^2 =t$ тогда исходное уравнение имеет более двух корней тогда и только тогда, когда совокупность

$\left[ \begin{array}{l} t=3 - |a| + a,t=|a| + a \end{array} \right. . ( * )$
имеет не менее двух различных неотрицательных корней.
[рис.]
Построим график совокупности (⁎) . Из графика получаем, что:
—  при $a меньше или = - \frac{3}{2}$ совокупность (⁎) имеет одно неотрицательное решение, значит, исходное уравнение имеет не более двух корней;
—  при $ - $\frac{3}{2}$ меньше a меньше \frac{3}{2}$ совокупность (⁎) имеет два неотрицательных решения, значит, исходное уравнение имеет более двух корней;
—  при $a = \frac{3}{2}$ совокупность (⁎) имеет одно неотрицательное решение $t=3$ значит, исходное уравнение имеет не более двух корней;
—  при $a больше \frac{3}{2}$ совокупность (⁎) имеет два неотрицательных решения, значит, исходное уравнение имеет более двух корней.

Ответ: $( - $\frac{3}{2}$ ; $\frac{3}{2}$ ) \cup ( $\frac{3}{2}$ ; + бесконечность )$

Примечание.
Дополнительно определим, сколько корней имеет исходное уравнение при различных значениях параметра a:
—  при $a меньше или = - \frac{3}{2}$ совокупность (⁎) имеет одно неотрицательное решение $t=0$ значит, исходное уравнение имеет один корень $x=2a$
—  при $ - $\frac{3}{2}$ меньше a меньше или = 0$ совокупность (⁎) имеет два неотрицательных решения $t=0$ или $t=2a + 3$ значит, исходное уравнение имеет три корня $x=2a$ $x=2a \pm $\sqrt{аргумента: 2a + 3}$ аргумента$
—  при $0 меньше a меньше \frac{3}{2}$ совокупность (⁎) имеет два неотрицательных решения $t=3$ или $t=2a$ значит, исходное уравнение имеет четыре корня $x=2a \pm \sqrt{3}$ $x=2a \pm $\sqrt{аргумента: 2a}$ аргумента$
—  при $a = \frac{3}{2}$ совокупность (⁎) имеет одно неотрицательное решение $t=3$ значит, исходное уравнение имеет два корня $x=2a \pm \sqrt{3}$
—  при $a больше \frac{3}{2}$ совокупность (⁎) имеет два неотрицательных решения $t=3$ или $t=2a$ значит, исходное уравнение имеет четыре корня $x=2a \pm \sqrt{3}$ $x=2a \pm $\sqrt{аргумента: 2a}$ аргумента$