Заметим, что уравнение $\log_{a} x = t$ имеет решения при любом значении t. Таким образом, надо выяснить, при каких $a принадлежит ( 0; 1 ) \cup ( 1; + бесконечность )$ уравнение

$t + \frac{2}{} t|a + t| - $\frac{a}{t}$ = 0$

имеет хотя бы одно решение.
Рассмотрим два случая: $t меньше или = - a$ и $t больше - a$ При $t меньше или = - a$ уравнение имеет вид

$t - $\frac{3a}{t}$ - 2 = 0 = сильно t ^2 - 2t - 3a = 0 \undersett не = 0 \mathop = сильно ( t - 1 ) ^2 = 3a + 1$

Заметим, что $3a + 1 больше 1$ и исследуем, при каких значения параметра меньший корень этого уравнения удовлетворяет условию $t меньше или = - a:$

$1 - $\sqrt{аргумента: 3a + 1}$ аргумента меньше или = - a = сильно a + 1 меньше или = $\sqrt{аргумента: 3a + 1}$ аргумента = сильно a ^2 - a меньше или = 0$

Значит, с учетом ограничений $a принадлежит ( 0, 1 )$
При $t больше - a$ уравнение имеет вид

$t + $\frac{a}{t}$ + 2 = 0 = сильно t ^2 + 2 t + a = 0 \undersett не = 0 \mathop = сильно ( t + 1 ) ^2 = - a + 1$

Это уравнение имеет решения только при $a меньше или = 1$ но при таких значениях параметра исходное уравнение имеет хотя бы одно решение из случая $t меньше или = - a$ поэтому дальнейшее исследование не требуется.

Ответ: (0; 1).