Рассмотрим два случая раскрытия модуля. Для $x меньше 0$ получаем:

$4x ^2 + 8x + 4a ^2 =4 = сильно x ^2 + 2x + a ^2 =1 = сильно ( x + 1 ) ^2 = 2 - a ^2 = сильно \left[ \begin{array}{l} x = $\sqrt{аргумента: 2 - a ^2}$ аргумента - 1, x = - $\sqrt{аргумента: 2 - a ^2}$ аргумента - 1. \end{array} \right.$ $4x ^2 + 8x + 4a ^2 =4 = сильно x ^2 + 2x + a ^2 =1 = сильно$
$ = сильно ( x + 1 ) ^2 = 2 - a ^2 = сильно \left[ \begin{array}{l} x = $\sqrt{аргумента: 2 - a ^2}$ аргумента - 1, x = - $\sqrt{аргумента: 2 - a ^2}$ аргумента - 1. \end{array} \right.$

Найденные корни существуют и различны, если $ - $\sqrt{2}$ меньше a меньше \sqrt{2}$ Меньший корень отрицателен при всех таких а, и потому оба найденных корня отрицательны, если

$\sqrt{аргумента: 2 - a ^2} аргумента - 1 меньше 0 = сильно 0 меньше 2 - a ^2 меньше 1 = сильно 1 меньше a ^2 меньше 2 = сильно \left[ \begin{array}{l} - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента меньше a меньше - 1, 1 меньше a меньше $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента . \end{array} \right.$

При $a = \pm \sqrt{2}$ уравнение имеет единственный корень $x = - 1$ Если $\sqrt{аргумента: 2 - a ^2} аргумента - 1 больше 0$ то есть если $ - 1 меньше a меньше 1$ уравнение имеет единственный отрицательный корень. При $a = \pm 1$ уравнение имеет корень $x= - 2$ и посторонний корень $x=0$
Для $x больше или = 0$ получаем:

$4x ^2 - 8x + ( 2a + 2x ) ^2 =4 = сильно x ^2 - 2x + a ^2 + 2ax + x ^2 =1 = сильно 2x ^2 - 2x ( 1 - a ) + a ^2 - 1 = 0$ $4x ^2 - 8x + ( 2a + 2x ) ^2 =4 = сильно x ^2 - 2x + a ^2 + 2ax + x ^2 =1 = сильно$
$ = сильно 2x ^2 - 2x ( 1 - a ) + a ^2 - 1 = 0$ $4x ^2 - 8x + ( 2a + 2x ) ^2 =4 = сильно$
$ = сильно x ^2 - 2x + a ^2 + 2ax + x ^2 =1 = сильно$
$ = сильно 2x ^2 - 2x ( 1 - a ) + a ^2 - 1 = 0$

Дискриминант этого уравнения равен $ - a ^2 - 2a + 3$ При $a=1$ уравнение имеет единственный корень $x=0$ при $a= - 3$ уравнение имеет единственный корень $x=2$ Квадратное уравнение имеет два корня положительных корня, если

$\{ \beginarrayl - 3 меньше a меньше 1 1 - a больше 0 a ^2 - 1 больше 0\endarray. = сильно - 3 меньше a меньше - 1$

[рис.]
Квадратное уравнение имеет один положительный корень и один корень, равный нулю, если

$\{ \beginarrayl - 3 меньше a меньше 1 1 - a меньше 0 a ^2 - 1 = 0\endarray. = сильно a = - 1$

Квадратное уравнение имеет два корня разных знаков, если $a ^2 - 1 меньше 0$ то есть если $ - 1 меньше a меньше 1$
Изобразим количество корней для каждого случая раскрытия модулей на рисунке. Из рисунка видно, что исходное уравнение имеет ровно два различных корня при $a принадлежит ( - 3; - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) \cup ( - 1; $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента )$

Ответ: $( - 3; - $\sqrt{2}$ ) \cup ( - 1; $\sqrt{2}$ )$