Введем замену $x - $\frac{9}{x}$ = t$ тогда

$x - $\frac{9}{x}$ = t = сильно x ^2 - tx - 9 = 0$

Дискриминант полученного уравнения равен $t ^2 + 36$ Уравнение имеет два решения при $t ^2 + 36 больше 0$ что верно при всех t.
Пользуясь введенной заменой, запишем исходное уравнение в виде

$at ^2 - 2t - 49a + 18 = 0. \qquad ( * )$

Чтобы исходное уравнение имело два корня, полученное квадратное уравнение должно иметь единственное решение. Это возможно в двух случаях: если уравнение (⁎) является линейным уравнением или если оно является квадратным уравнением, имеющим единственное решение.
При a  =  0 полученное уравнение является линейным и принимает вид $ - 2t + 18 = 0$ откуда $t = 9$ Найденному значению  t соответствуют два корня исходного уравнения.
При a  ≠  0 уравнение является квадратным, его дискриминант равен

$D = 4 + 4a ( 49a - 18 ) = 196a ^2 - 72a + 4$

Уравнение имеет единственное решение, когда дискриминант равен нулю. Находим:

$196a ^2 - 72a + 4 = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} a = \frac{9 - 4 $\sqrt{2}$}{49} , a = \frac{9 + 4 $\sqrt{2}$}{49} . \end{array} \right.$

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при $a = 0$ и при $a = \frac{9 \pm 4 $\sqrt{2}$}{49}$

Ответ: $a = 0$ $a = \frac{9 - 4 $\sqrt{2}$}{49}$ $a = \frac{9 + 4 $\sqrt{2}$}{49}$