Решение системы может быть единственным в двух случаях.
1 случай. Единственное решение является граничной точкой для множества решений каждого из двух неравенств. В этом случае это единственное решение должно удовлетворять системе уравнений

$$$\begin{cases} новая строка ( a - 1 ) x ^2 + 2ax + a + 4= 0 \\[6pt] новая строка ax ^2 + 2 ( a + 1 ) x + a + 1=0. \end{cases}$$$

Вычитая из второго уравнения первое, получаем:

$x ^2 + 2x - 3=0 = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x=1, новая строка x= - 3. \end{array} \right.$

Если $x=1$ то $a + 2 ( a + 1 ) + a + 1=0$ а значит, $a= - \frac{3}{4}$ При этом значении a система принимает вид:

$$$\begin{cases} новая строка - 7x ^2 - 6x + 13\leqslant0 \\[6pt] новая строка - 3x ^2 + 2x + 1 больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка \left[ \begin{array}{l} новая строка x\leqslant - $\frac{13}{7}$ \\[6pt] новая строка x больше или = 1 \end{cases}$$ . новая строка - $\frac{1}{3}$ меньше или = x меньше или = 1. \end{array} \right.$

Единственное решение $x =1$
Если $x= - 3$ то $9a - 6 ( a + 1 ) + a + 1=0$ и $a= \frac{5}{4}$ Система принимает вид:

$$$\begin{cases} новая строка x ^2 + 10x + 21 меньше или = 0 \\[6pt] новая строка 5x ^2 + 18x + 9 больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка - 7 меньше или = x меньше или = - 3 \\[6pt] новая строка \left[ \begin{array}{l} новая строка x меньше или = - 3 \\[6pt] новая строка x\geqslant - $\frac{3}{5}$ \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно - 7 меньше или = x меньше или = - 3$

При этом значении a система имеет бесконечно много решений.

2 случай. Одно из неравенств имеет единственное решение, удовлетворяющее другому неравенству.
Первое неравенство имеет единственное решение при

$$$\begin{cases} новая строка a ^2 - ( a - 1 ) ( a + 4 ) =0 \\[6pt] новая строка a - 1 больше 0. \end{cases}$$ . = сильно a= \frac{4}{3}$

При этом первое неравенство имеет единственное решение $x = - 4$ которое удовлетворяет второму неравенству.

Второе неравенство имеет единственное решение при

$$$\begin{cases} новая строка ( a + 1 ) ^2 - a ( a + 1 ) =0 \\[6pt] новая строка a меньше 0. \end{cases}$$ . = сильно a= - 1$

При этом второе неравенство имеет единственное решение $x = 0$ которое не удовлетворяет первому неравенству.

Ответ: $ - $\frac{3}{4}$ , \frac{4}{3}$