Заметим, что при $|y| больше 4$ левая часть первого уравнения системы не определена, а при $ - 4 меньше или = y меньше или = 4$ первое уравнение системы принимает вид:

$16 - y ^2 =16 - a ^2 x ^2$

откуда $y =ax,y= - ax$
При y  =  ax второе уравнение системы принимает вид:

$x ^2 + a ^2 x ^2 =8x + 4ax$

откуда $x=0,x= \frac{4a + 8}{a ^2 + 1}$ В этих случаях получаем, что $y=0$ и $y= \frac{4a ^2 + 8a}{a ^2 + 1}$ соответственно.
При y  =  −ax второе уравнение системы принимает вид:

$x ^2 + a ^2 x ^2 =8x - 4ax$

откуда $x=0,x= \frac{8 - 4a}{a ^2 + 1}$ В этих случаях получаем, что $y=0$ и $y= \frac{4a ^2 - 8a}{a ^2 + 1}$ соответственно.
Таким образом, решениями исходной системы являются пары чисел (0; 0); $( $\frac{4a + 8}{a ^2 + 1}$ ; $\frac{4a ^2 + 8a}{a ^2 + 1}$ ) , ( $\frac{8 - 4a}{a ^2 + 1}$ ; $\frac{4a ^2 - 8a}{a ^2 + 1}$ )$ для которых выполнено условие $ - 4 меньше или = y меньше или = 4$
Для пары (0; 0) условие $ - 4 меньше или = y меньше или = 4$ выполнено.
Для пары $( $\frac{4a + 8}{a ^2 + 1}$ ; $\frac{4a ^2 + 8a}{a ^2 + 1}$ )$ условие $ - 4 меньше или = y меньше или = 4$ принимает вид:

$ - 4 меньше или = $\frac{4a ^2 + 8a}{a ^2 + 1}$ меньше или = 4 ; $$\begin{cases} 2a ^2 + 2a + 1 больше или = 0 \\[6pt] 2a - 1\leqslant0 \end{cases}$$$

откуда $a меньше или = \frac{1}{2}$
Для пары $( $\frac{8 - 4a}{a ^2 + 1}$ ; $\frac{4a ^2 - 8a}{a ^2 + 1}$ )$ условие $ - 4 меньше или = y меньше или = 4$ принимает вид:

$ - 4 меньше или = $\frac{4a ^2 - 8a}{a ^2 + 1}$ меньше или = 4; $$\begin{cases} 2a ^2 - 2a + 1 больше или = 0 \\[6pt] 2a + 1 больше или = 0 \end{cases}$$$

откуда $a больше или = - \frac{1}{2}$
Пары (0; 0) и $( $\frac{4a + 8}{a ^2 + 1}$ ; $\frac{4a ^2 + 8a}{a ^2 + 1}$ )$ совпадают $a= - 2$
Пары (0; 0) и $( $\frac{8 - 4a}{a ^2 + 1}$ ; $\frac{4a ^2 - 8a}{a ^2 + 1}$ )$ совпадают $a=2$
Пары $( $\frac{4a + 8}{a ^2 + 1}$ ; $\frac{4a ^2 + 8a}{a ^2 + 1}$ )$ и $( $\frac{8 - 4a}{a ^2 + 1}$ ; $\frac{4a ^2 - 8a}{a ^2 + 1}$ )$ совпадают a  =  0.
Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно два различных решения при $a меньше - 2; - 2 меньше a меньше - $\frac{1}{2}$ ; a=0; $\frac{1}{2}$ меньше a меньше 2; a больше 2$

Ответ: $( - бесконечность ; - 2 ) \cup ( - 2; - $\frac{1}{2}$ ) \cup \{ 0 \} \cup ( $\frac{1}{2}$ ;2 ) \cup ( 2; + бесконечность )$