Заметим, что при $|y| больше или = 6$ левая часть первого уравнения системы не определена, а при −6 y
$36 - y ^2 =36 - a ^2 x ^2$

откуда $y =ax,y= - ax$
При y  =  ax второе уравнение системы принимает вид $x ^2 + a ^2 x ^2 =2x + 6ax$ откуда $x=0,x= \frac{6a + 2}{a ^2 + 1}$ В этих случаях получаем, что $y=0$ и $y= \frac{6a ^2 + 2a}{a ^2 + 1}$ соответственно.
При y  =  −ax второе уравнение системы принимает вид $x ^2 + a ^2 x ^2 =2x - 6ax$ откуда $x=0,x= \frac{2 - 6a}{a ^2 + 1}$ В этих случаях получаем, что $y=0$ и $y= \frac{6a ^2 - 2a}{a ^2 + 1}$ соответственно.
Таким образом, решениями исходной системы являются пары чисел (0;0); $( $\frac{6a + 2}{a ^2 + 1}$ ; $\frac{6a ^2 + 2a}{a ^2 + 1}$ ) , ( $\frac{2 - 6a}{a ^2 + 1}$ ; $\frac{6a ^2 - 2a}{a ^2 + 1}$ )$ для которых выполнено условие −6 y y y
$ - 6 меньше $\frac{6a ^2 + 2a}{a ^2 + 1}$ меньше 6; $$\begin{cases} 6a ^2 + a + 3 больше 0 \\[6pt] a - 3 меньше 0 \end{cases}$$$

откуда $a меньше 3$
Для пары $( $\frac{2 - 6a}{a ^2 + 1}$ ; $\frac{6a ^2 - 2a}{a ^2 + 1}$ )$ условие −6 y
$ - 6 меньше $\frac{6a ^2 - 2a}{a ^2 + 1}$ меньше 6; $$\begin{cases} 6a ^2 - a + 3 больше 0 \\[6pt] a + 3 больше 0 \end{cases}$$$

откуда $a больше - 3$
Пары (0;0) и $( $\frac{6a + 2}{a ^2 + 1}$ ; $\frac{6a ^2 + 2a}{a ^2 + 1}$ )$ совпадают $a= - \frac{1}{3}$
Пары (0;0) и $( $\frac{2 - 6a}{a ^2 + 1}$ ; $\frac{6a ^2 - 2a}{a ^2 + 1}$ )$ совпадают $a= \frac{1}{3}$
Пары $( $\frac{6a + 2}{a ^2 + 1}$ ; $\frac{6a ^2 + 2a}{a ^2 + 1}$ )$ и $( $\frac{2 - 6a}{a ^2 + 1}$ ; $\frac{6a ^2 - 2a}{a ^2 + 1}$ )$ совпадают a  =  0.
Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно два различных решения при $a меньше или = - 3; a= - $\frac{1}{3}$ ; a=0; a= $\frac{1}{3}$ ; a \geqslant3$

Ответ: $( - бесконечность ; - 3 ] \cup \{ - $\frac{1}{3}$ \} \cup \{ 0 \} \cup \{ $\frac{1}{3}$ \} \cup [ 3; + бесконечность )$