Сделаем замену $x - 3=t$ и заметим, что $y=t + a + 3$ Очевидно, число решений системы будет совпадать с числом решений уравнения $t ( 2t - a - 3 ) =|t| ^3$ Очевидно, $t=0$ является его решением при всех a.
При $t больше 0$ уравнение сводится к $t ^2 =2t - a - 3$ $( t - 1 ) ^2 = - a - 2$ Это уравнение имеет два положительных корня, если $ - a - 2 принадлежит ( 0;1 )$ то есть при $a принадлежит ( - 3; - 2 )$ и один положительный корень при $a= - 2$ или $a\leqslant - 3$
При $t меньше 0$ уравнение сводится к $ - t ^2 =2t - a - 3$ $( t + 1 ) ^2 =a + 4$ Это уравнение имеет два отрицательных корня, если $a + 4 принадлежит ( 0;1 )$ то есть при $a принадлежит ( - 4; - 3 )$ и один отрицательный корень при $a= - 4$ или $a\geqslant - 3$

Значит,
—  при $a меньше - 4$ система будет иметь два решения;
—  при $a= - 4$ система будет иметь три решения;
—  при $ - 4 меньше a меньше - 3$ система будет иметь четыре решения;
—  при $a= - 3$ система будет иметь три решения;
—  при $ - 3 меньше a меньше - 2$ система будет иметь четыре решения;
—  при $a= - 2$ система будет иметь три решения;
—  при $a больше - 2$ система будет иметь два решения.

Поэтому нужное количество корней будет при $a принадлежит ( - 4; - 3 )$ $a принадлежит ( - 3; - 2 )$

Ответ: $a принадлежит ( - 4; - 3 ) \cup ( - 3; - 2 )$