Преобразуем первое уравнение системы:

$x ^2 - 8x + y ^2 + 4y + 15=4|2x - y - 10| = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} x ^2 - 8x + y ^2 + 4y + 15=4 ( 2x - y - 10 ) \\[6pt] 2x - y - 10 больше или = 0 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} x ^2 - 8x + y ^2 + 4y + 15= - 4 ( 2x - y - 10 ) \\[6pt] 2x - y - 10 меньше 0 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно$ $x ^2 - 8x + y ^2 + 4y + 15=4|2x - y - 10| = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} x ^2 - 8x + y ^2 + 4y + 15=4 ( 2x - y - 10 ) \\[6pt] 2x - y - 10 больше или = 0 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} x ^2 - 8x + y ^2 + 4y + 15= - 4 ( 2x - y - 10 ) \\[6pt] 2x - y - 10 меньше 0 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} x ^2 - 16x + y ^2 + 8y + 55=0 \\[6pt] y меньше или = 2x - 10 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} x ^2 + y ^2 =25 \\[6pt] y больше 2x - 10 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} ( x - 8 ) ^2 + ( y + 4 ) ^2 =25 \\[6pt] y меньше или = 2x - 10 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} x ^2 + y ^2 =25 \\[6pt] y больше 2x - 10. \end{cases}$$ . \end{array} \right.$

[рис.]
Тем самым, первое уравнение задаёт объединение дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ окружностей радиуса $5$ с центрами в точках $O_1 ( 8; - 4 )$ и $O_2 ( 0;0 )$ лежащих ниже и выше прямой $y=2x - 10$ соответственно (см. рис.), пересекающихся в точках $A ( 5;0 )$ и $B ( 3; - 4 )$ Заметим, что точка касания $C ( $\sqrt{5}$ ;2 $\sqrt{5}$ )$ лежит на дуге $\omega_2$ и прямая $O_2C$ перпендикулярна прямой $O_1O_2$ поскольку произведение угловых коэффициентов данных прямых = −1.
Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, параллельную прямой $O_1O_2$ или совпадающую с ней.
При $a=5$ прямая m пересекает каждую из дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ в точке A и ещё в одной точке, отличной от точки A, то есть исходная система имеет три решения.
Аналогично, при $a= - 5$ прямая m проходит через точку B и исходная система имеет три решения.
При $a = 5 \sqrt{5}$ прямая m проходит через точку C, значит, прямая m касается дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ то есть исходная система имеет два решения.
Аналогично, при $a= - 5 \sqrt{5}$ прямая m касается дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ то есть исходная система имеет два решения.
При $ - 5 $\sqrt{5}$ меньше a меньше - 5$ или $5 меньше a меньше 5 \sqrt{5}$ прямая m пересекает каждую из дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ в двух точках, отличных от точек A и B, то есть исходная система имеет четыре решения.
При $ - 5 меньше a меньше 5$ прямая m пересекает каждую из дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ в точке, отличной от точек A и B, то есть исходная система имеет два решения.
При $a меньше - 5 \sqrt{5}$ или $a больше 5 \sqrt{5}$ прямая m не пересекает дуги $\omega_1$ и $\omega_2$ то есть исходная система не имеет решений.
Значит, исходная система имеет более двух решений при $ - 5 $\sqrt{5}$ меньше a\leqslant - 5$ или $5 меньше или = a меньше 5 \sqrt{5}$

Ответ: $ - 5 $\sqrt{5}$ меньше a\leqslant - 5;5 меньше или = a меньше 5 \sqrt{5}$