Уравнение $y=ax + 2$ задает прямую. Эта прямая при всех a проходит через точку $A ( 0;2 )$
Неравенство системы $( ( x - 3 ) ^2 + ( y - 3 ) ^2 - 1 ) ( ( x - 1 ) ^2 + y ^2 ) меньше или = 0$ задает объединение круга с центром в точке $K ( 3;3 )$ и радиусом $1$ и точки $M ( 1;0 )$ Система не будет иметь решений тогда и только тогда, когда прямая $y=ax + 2$ не имеет общих точек с кругом и не проходит через точку $M$
[рис.]
Пусть $альфа$   — угол между касательными к окружности $( x - 3 ) ^2 + ( y - 3 ) ^2 =1$ проведёнными из точки $A ( 0;2 )$ Тогда \text{tg} угла $\frac{альфа}{2}$ образованного этими касательными с прямой AK, равен $\frac{1}{3}$ (см.рис.). Воспользовавшись формулой \text{tg} а двойного угла, получим $\text{tg} альфа = \frac{2 \cdot $\frac{1}{3}$ ,}{1 - ( $\frac{1}{3}$ ) ^2} = \frac{3}{4}$ Значит, для касательных к окружности $a=0$ и $a= \frac{3}{4}$
Прямая AM имеет угловой коэффициент $ - 2$
Отсюда получаем $a меньше - 2; - 2 меньше a меньше 0; a больше \frac{3}{4}$

Ответ: $( - бесконечность ; - 2 ) \cup ( - 2;0 ) \cup ( $\frac{3}{4}$ ; + бесконечность )$