Заметим, что на области определения системы уравнений справедлива = сильность

$$$\begin{cases} новая строка A \cdot B=0 \\[6pt] новая строка A \cdot C=0 \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка A=0, новая строка $$\begin{cases} новая строка B=0 \\[6pt] новая строка C=0. \end{cases}$$ . \end{array} \right.$

Тогда при условии существования \log а $x ^2 + y ^2 меньше 9$ имеем два случая:

$( x + 5 ) ^2 + y ^2 =a ^2$  (1)    или     $$$\begin{cases} новая строка x ^2 + y ^2 =8 \\[6pt] новая строка y= - x + ( a - 5 ) . \end{cases}$$$  (2)

Изобразим графики полученных уравнений и область определения  — внутреннюю часть круга $\omega$ радиуса 3 с центром в начале координат (см. рис.) в одной системе координат. Определим, при каких значениях параметра уравнение (1) и система (2) совместно имеют ровно два решения, лежащие в области $\omega$
Рассмотрим уравнение (1). [рис.] При $a=0$ уравнение $( x + 5 ) ^2 + y ^2 =a ^2$ имеет одно решение  — пару (−5; 0); точка (−5; 0) не лежит в $\omega$ При прочих значениях параметра уравнение имеет бесконечно много решений. Чтобы исходная система могла иметь ровно два решения, решения уравнения (1) должны лежать вне области определения системы: радиус окружности должен быть таким, что ни одна из ее точек не попадала в область $\omega$ Находим (см. рис.): $|a| меньше или = 2$ или $|a| больше или = 8$
Рассмотрим систему (2). Окружность, задаваемая первым уравнением, может иметь с прямой, задаваемой вторым уравнением, 0, 1 или 2 общие точки. Определим, какие значения параметра соответствуют касанию. Из = бедренного прямоугольного треугольника AOC найдем

$r=OC=AO \cdot \sin 45 ^{\circ}= \frac{|a - 5|}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} = $\sqrt{аргумента: 8}$ аргумента$

откуда $a=1$ или $a=9$ Следовательно, при $1 меньше a меньше 9$ система имеет два решения. Оба они лежат в области $\omega$
Тем самым, при $( 1;2 ] \cup [ 8;9 )$ исходная система уравнений имеет ровно два решения.

Ответ: $( 1;2 ] \cup [ 8;9 )$