Преобразуем систему:

$$$\begin{cases} \log_{левая} круглая скобка 11 ) ( 16 - y ^2 ) = \log_{левая} круглая скобка 11 ) ( 16 - a ^2 x ^2 ) \\[6pt] x ^2 + y ^2 =2x + 4y \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} 16 - y ^2 =16 - a ^2 x ^2 \\[6pt] 16 - y ^2 больше 0 \\[6pt] x ^2 - 2x + y ^2 - 4y=0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} y ^2 = ( ax ) ^2 \\[6pt] 16 - y ^2 больше 0 \\[6pt] x ^2 - 2x + 1 + y ^2 - 4y + 4=5 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} y=\pm ax \\[6pt] - 4 меньше y меньше 4 \\[6pt] ( x - 1 ) ^2 + ( y - 2 ) ^2 =5. \end{cases}$$$

[рис.]
Изобразим линии, соответствующие уравнениям и неравенству системы, в плоскости xOy. Каждое из двух уравнений $y=\pm ax$ задаёт пучок прямых, проходящих через начало координат, симметричных друг другу относительно оси ординат и совпадающих при $a=0$ (см. рис., выделено красным). Двойное неравенство $ - 4 меньше y меньше 4$ задает внутреннюю часть горизонтальной полосы, ограниченной прямыми $y= - 4$ и $y=4$ Уравнение $( x - 1 ) ^2 + ( y - 2 ) ^2 =5$ задает окружность с центром в точке $( 1; 2 )$ и радиусом $\sqrt{5}$ Дуга окружности, лежащая в указанной полосе, выделена на рисунке синим. Определим, при каком значении параметра а прямые, задаваемые уравнениями $y=\pm ax$ имеют с этой дугой окружности ровно две общие точки.
Количество решений системы при $a=a_0$ и $a= - a_0$ одинаково. Поэтому искомые значения параметра симметричны относительно нуля. Рассмотрим случай $a\geqslant0$ Точка $( 0; 0 )$ является решением при любом значении параметра a. Вторая точка пересечения соответствует следующим трем случаям.
  — Пересечению с дугой окружности прямой $y= - ax$ если при этом прямая $y=ax$ не пересекает дугу в точке, отличной от точки $( 0; 0 )$ Этот случай реализуется при $a\geqslant2$
  — Пересечению совпадающих при $a=0$ прямых $y=\pm ax$ с дугой окружности в точке (2; 0)  — см. рис., выделено оранжевым.
  — Пересечению с дугой окружности прямой $y=ax$ в том случае, когда прямая $y= - ax$ является касательной, проходящей через точку $( 0; 0 )$ Найдем уравнение такой касательной. Прямая, проходящая через начало координат, задается уравнением $y=kx$ Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то есть перпендикулярна прямой $y=2x$ содержащий этот радиус (см. рис.). Две прямые на плоскости, отличные от координатных осей, перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов = −1. Тем самым $k \cdot 2 = - 1$ откуда $k = - \frac{1}{2}$ Следовательно, искомое уравнение касательной есть $y= - $\frac{1}{2}$ x$ что соответствует значениям $a= \frac{1}{2}$ При этом вторая прямая $y= $\frac{1}{2}$ x$ пересекает дугу в точке, отличной от начала координат, а значит, найденное значение параметра является искомым.
Объединяя полученные значения параметра с противоположными значениями, получаем, что система имеет ровно два различных решения при $a\leqslant - 2, a= - $\frac{1}{2}$ , a=0, a= $\frac{1}{2}$ , a\geqslant2$

Ответ: $( - бесконечность ; - 2 ] \cup \{ - $\frac{1}{2}$ ; 0; $\frac{1}{2}$ \} \cup [ 2; + бесконечность )$