Преобразуем второе уравнение системы:

$x ^2 + y ^2 + 8a ^2 = 4 + 4a ( x + y ) = сильно x ^2 - 4 ax + 4a ^2 + y ^2 - 4 ay + 4a ^2 = 4 = сильно ( x - 2a ) ^2 + ( y - 2a ) ^2 = 2 ^2$ $x ^2 + y ^2 + 8a ^2 = 4 + 4a ( x + y ) = сильно$
$ = сильно x ^2 - 4 ax + 4a ^2 + y ^2 - 4 ay + 4a ^2 = 4 = сильно ( x - 2a ) ^2 + ( y - 2a ) ^2 = 2 ^2$ $x ^2 + y ^2 + 8a ^2 = 4 + 4a ( x + y ) = сильно$
$ = сильно x ^2 - 4 ax + 4a ^2 + y ^2 - 4 ay + 4a ^2 = 4 = сильно$
$ = сильно ( x - 2a ) ^2 + ( y - 2a ) ^2 = 2 ^2$

Графиком уравнения является окружность с центром (2a; 2a) и радиусом 2. При всех а такие окружности описывают полосу, ограниченную касательными, параллельными $y = x$ Поскольку $r = 2$ получаем:

$2= \frac{|0 - 0 + d|}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} = сильно |d|=2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента = сильно d= \pm 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$

а значит, $y=x \pm 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$
[рис.]
Точки всех таких окружностей лежат не ниже прямой $y = x - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$ а ветви параболы $y= - b - x ^2$ направлены вниз, следовательно, хотя бы одно решение будет, если

$ - b - x ^2 больше или = x - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента = сильно x ^2 + x + b - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента меньше или = 0$

Наименьшее значение квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства, достигается в точке $x_в = - \frac{1}{2}$ откуда:

$\frac{1}{4} - $\frac{1}{2}$ + b - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента меньше или = 0 = сильно b меньше или = 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента + \frac{1}{4}$

Ответ: $b меньше или = 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента + \frac{1}{4}$