Система определена при $x |x| больше или = 0$ то есть при $x больше или = 0$ Значит, исходная система = сильна системе

$$$\begin{cases} ( 3x + |y| - 3 ) ( x + 3|y| - 9 ) = 0 \\[6pt] ( x - a ) ^2 + y ^2 = 25 \\[6pt] x больше или = 0. \end{cases}$$$

Если пара чисел $( x_0; y_0 )$ является решением системы, то и пара чисел $( x_0; - y_0 )$ тоже является решением этой системы, значит, единственное решение возможно, только если $y=0:$

$$$\begin{cases} ( 3x - 3 ) ( x - 9 ) = 0 \\[6pt] ( x - a ) ^2 = 25 \\[6pt] x больше или = 0. \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x=1 \\[6pt] x=9 \end{cases}$$ . ( x - a ) ^2 = 25 \end{array} \right.$

Таким образом, единственным решением системы могут быть или пара чисел $( 1; 0 )$ при $a= - 4$ или $a=6$ или пара чисел $( 9; 0 )$ при $a=4$ или $a=14$ Найдем число решений системы при найденных значениях параметра a.
Рассмотрим уравнение $( 3x + |y| - 3 ) ( x + 3|y| - 9 ) = 0$ при $x больше или = 0:$

$$$\begin{cases} ( 3x + |y| - 3 ) ( x + 3|y| - 9 ) = 0 \\[6pt] x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} |y|=3 - 3x \\[6pt] 3|y|=9 - x \end{cases}$$ . x больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} y= \pm ( 3 - 3x ) \\[6pt] 0 меньше или = x меньше или = 1 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} y= \pm ( 3 - $\frac{x}{3}$ ) \\[6pt] 0 меньше или = x меньше или = 9. \end{cases}$$ . \end{array} \right.$

Графиком полученной совокупности является замкнутая ломаная (выделена оранжевым). Графиком уравнения $( x - a ) ^2 + y ^2 = 25$ является окружность с центром $( a; 0 )$ радиусом 5. [рис.]
Анализируя график, приходим к выводу, что при $a= - 4$ $a=4$ $a=6$ система имеет ровно три решения, а при $a=14$ система имеет ровно одно решение.

Ответ: $a=14$