Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Уравнение $\frac{x ^2 - 2x + a}{6 + x ^2} =1$ при любом a имеет решение $x= \frac{a - 6}{2}$ Значит, при любом a одно из значений функции =  1.
Поскольку функция непрерывна, множество её значений образует промежуток, включающий число 1. Других целых значений функции нет, если для всех $x:$

$0 меньше $\frac{x ^2 - 2x + a}{6 + x ^2}$ меньше 2 = сильно $$\begin{cases} новая строка x ^2 - 2x + a больше 0 \\[6pt] новая строка x ^2 + 2x + 12 - a больше 0. \end{cases}$$$

Чтобы неравенства выполнялись для всех x, дискриминанты обоих трёхчленов должны быть отрицательны:

$$$\begin{cases} новая строка 4 - 4a меньше 0 \\[6pt] новая строка 4 - 4 ( 12 - a ) меньше 0 \end{cases}$$ = сильно $$\begin{cases} новая строка a больше 1 \\[6pt] новая строка a меньше 11. \end{cases}$$$

Таким образом, подходящие значения параметра $1 меньше a меньше 11$

Ответ: (1; 11).