[рис.] Пусть $x ^2 - 6x + 5=y$ тогда $y\geqslant - 4$ при этом, если x  — целое, то y  — также целое число.
Неравенство имеет вид $||y| - y - 8| + y меньше - a ^2 + a - 3$ Построим график функции $f ( y ) =||y| - y - 8| + y$ при $y\geqslant - 4$ находим, что эта функция монотонно возрастает. Следовательно, если $y_0$ является решением неравенства при некотором a, то все $y меньше y_0$ также являются решениями.
Значит, если есть решение $y_0\geqslant - 3$ то целые числа −4 и −3 также будут решениями, и тогда будет, по крайней мере, три решения данного неравенства: $x=2,3,4$ Следовательно, $ - 4 меньше или = y меньше - 3$ и, стало быть, $ - 4 меньше или = f ( y ) меньше - 1$ Значит, должно выполняться двойное неравенство: $ - 4 меньше - a ^2 + a - 3 меньше или = - 1$ откуда

$$$\begin{cases} новая строка a ^2 - a - 1 меньше 0 \\[6pt] новая строка a ^2 - a + 2 больше или = 0. \end{cases}$$$

Решение первого неравенства: $\frac{1 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} меньше a меньше \frac{1 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2}$ Второе неравенство выполняется при всех $a$

Ответ: $( \frac{1 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} ; \frac{1 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} )$