Найдем производную функции f(x):
$f' ( x ) = - 4x ^3 + $\frac{2ax ^2}{3}$ + $\frac{2a ^2 x}{3}$ = - $\frac{2x}{3}$ ( 6x ^2 - ax - a ^2 )$
При $a не = 0$ квадратный трехчлен в скобках имеет два корня различных знаков, следовательно, у исходной функции три экстремума: две точки максимума при x x > 0, а также точка минимума при x = 0.
Разложим $f ( x )$ на множители:

$f ( x ) = - x в степени 4 + $\frac{2ax ^3}{9}$ + $\frac{a ^2 x ^2}{3}$ = - x ^2 ( x ^2 - $\frac{2ax}{9}$ - $\frac{a ^2}{3}$ ) = - x ^2 ( x - x_1 ) ( x - x_2 )$ $f ( x ) = - x в степени 4 + $\frac{2ax ^3}{9}$ + $\frac{a ^2 x ^2}{3}$ =$
$= - x ^2 ( x ^2 - $\frac{2ax}{9}$ - $\frac{a ^2}{3}$ ) = - x ^2 ( x - x_1 ) ( x - x_2 )$

где $x_1= \frac{a ( 1 - 2 $\sqrt{7}$ )}{9}$ $x_2= \frac{a ( 1 + 2 $\sqrt{7}$ )}{9}$
При $a=0$ функция $f ( x ) = - x в степени 4$ на отрезке $[ - 1;0 ]$ возрастает, значит, наименьшее значение функции на этом отрезке достигается в точке $x= - 1$   — на левом конце отрезка, и = $f ( - 1 ) = - ( - 1 ) в степени 4 = - 1$ что удовлетворяет условию задачи.
При $a больше 0$ получаем, что $x_1 меньше 0$ $x_2 больше 0$ Тогда $f ( x ) меньше 0$ при $x меньше x_1$ и $f ( x ) больше 0$ при $x_1 меньше x меньше 0$ а $f ( x_1 ) =f ( 0 ) =0$ Условие задачи будет выполнено если $f ( - 1 ) меньше или = f ( 0 ) =f ( x_1 ) =0$ то есть при $x_1\geqslant - 1$ Найдём соответствующие значения параметра a:

$$$\begin{cases} a больше 0 \\[6pt] \frac{a ( 1 - 2 $\sqrt{7}$ )}{9} \geqslant - 1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a больше 0 \\[6pt] a меньше или = \frac{9}{2 $\sqrt{7}$ - 1} \end{cases}$$ . = сильно 0 меньше a меньше или = \frac{2 $\sqrt{7}$ + 1}{3}$

При $a меньше 0$ получаем, что $x_1 больше 0$ $x_2 меньше 0$ Тогда $f ( x ) меньше 0$ при $x меньше x_2$ и $f ( x ) больше 0$ при $x_2 меньше x меньше 0$ а $f ( x_2 ) =f ( 0 ) =0$ Условие задачи будет выполнено если $f ( - 1 ) меньше или = f ( 0 ) =f ( x_2 ) =0$ то есть при $x_2\geqslant - 1$ Найдём соответствующие значения параметра a:

$$$\begin{cases} a меньше 0 \\[6pt] \frac{a ( 1 + 2 $\sqrt{7}$ )}{9} \geqslant - 1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a меньше 0 \\[6pt] a меньше или = - \frac{9}{2 $\sqrt{7}$ + 1} \end{cases}$$ . = сильно \frac{1 - 2 $\sqrt{7}$}{3} меньше или = a меньше 0$

Объединяя три случая, получаем, что условие задачи выполняется при $\frac{1 - 2 $\sqrt{7}$}{3} меньше или = a меньше или = \frac{2 $\sqrt{7}$ + 1}{3}$

Ответ: $[ \frac{1 - 2 $\sqrt{7}$}{3} ; \frac{2 $\sqrt{7}$ + 1}{3} ]$