Найдем производную функции и определим, в каких точках производная обращается в нуль:

$f' ( x ) =12ax ^3 - 24x ^2 + 6x$
$12ax ^3 - 24x ^2 + 6x=0 = сильно 6x ( 2ax ^2 - 4x + 1 ) =0$

При a  =  0 полученное уравнение имеет два корня: x  =  0 и $x= \frac{1}{4}$ Точка 0 является точкой минимума, точка $\frac{1}{4}$ является точкой максимума.
При $a принадлежит ( 0; 2 )$ уравнение уравнение $2ax ^2 - 4x + 1=0$ имеет два различных корня, каждый из которых отличен от нуля, а потому производная обращается в нуль в трех различных точках:

$x_1=0$ $x_2= \frac{2 - $\sqrt{аргумента: 4 - 2a}$ аргумента}{2a}$ и $x_3= \frac{2 + $\sqrt{аргумента: 4 - 2a}$ аргумента}{2a}$
где точка x2 является точкой максимума, а точки x1 и x3  — точки минимума. Точка x3 не лежит на отрезке [−1; 1], если либо $\frac{2 + $\sqrt{аргумента: 4 - 2a}$ аргумента}{2a} меньше - 1$ что невозможно для положительных а, либо $\frac{2 + $\sqrt{аргумента: 4 - 2a}$ аргумента}{2a} больше 1$ откуда $2 + $\sqrt{аргумента: 4 - 2a}$ аргумента больше 2a$ Левая часть неравенства убывает на интервале $( 0; 2 )$ правая  — возрастает, число $\frac{3}{2}$ обращает неравенство в верное числовое равенство, поэтому неравенство верно при $0 меньше a меньше \frac{3}{2}$
При a  =  2 уравнение $2ax ^2 - 4x + 1=0$ имеет один корень $\frac{1}{2}$ кратности 2, в этой точке производная не меняет знак, а потому это не точка экстремума. Кроме того, производная обращается в нуль при x  =  0, это точка минимума.
При a > 2 уравнение $2ax ^2 - 4x + 1=0$ не имеет корней, поэтому производная обращается в нуль только при x  =  0, это точка минимума.
Таким образом, функция $f ( x ) =3ax в степени 4 - 8x ^3 + 3x ^2 - 7$ на отрезке [−1; 1] имеет одну точку минимума при $a принадлежит [ 0; 1,5 )$ или при $a больше или = 2$

Ответ: $a принадлежит [ 0; 1,5 ) \cup [ 2; + бесконечность )$