Найдите все значения параметра a, при каждом из которых любая прямая, перпендикулярная оси ординат, имеет нечетное число общих точек с графиком функции
$y = ( 2 a - 3 ) x + ( x - a ) \cdot |x + 3|$
$y = ( 2 a - 3 ) x + ( x - a ) \cdot |x + 3|$
💡 Пошаговый разбор и решение:
Раскроем модуль:
$y= $$\begin{cases} x ^2 + ax - 3a \\[6pt] при x больше или = - 3 \\[6pt] - x ^2 + ( 3a - 6 ) x + 3a \\[6pt] при x меньше - 3. \end{cases}$$$
График функции представляет собой части двух парабол с вершинами в точках $x_1= - \frac{a}{2}$ и $x_2= \frac{3a - 6}{2}$ и ветвями, направленными вверх и вниз. Прямая, перпендикулярная оси ординат, может иметь одну, две или три общие точки с графиком такой функции. Если найдётся прямая $y=m$ которая имеет три общие точки, то хотя бы одна из прямых $y=y ( x_1 )$ или $y=y ( x_2 )$ будет иметь ровно две общие точки.
Условие задачи будет выполнено тогда и только тогда, когда любая горизонтальная прямая будет иметь с графиком функции ровно одну общую точку, то есть если будет выполнено условие $x_1 меньше или = - 3 меньше или = x_2$ Следовательно, искомые значения параметра задаются системой неравенств:
$$$\begin{cases} - $\frac{a}{2}$ меньше или = - 3 \\[6pt] $\frac{3a - 6}{2}$ больше или = - 3 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a больше или = 6 \\[6pt] a больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно a больше или = 6$
Ответ: $[ 6; + бесконечность )$
$y= $$\begin{cases} x ^2 + ax - 3a \\[6pt] при x больше или = - 3 \\[6pt] - x ^2 + ( 3a - 6 ) x + 3a \\[6pt] при x меньше - 3. \end{cases}$$$
График функции представляет собой части двух парабол с вершинами в точках $x_1= - \frac{a}{2}$ и $x_2= \frac{3a - 6}{2}$ и ветвями, направленными вверх и вниз. Прямая, перпендикулярная оси ординат, может иметь одну, две или три общие точки с графиком такой функции. Если найдётся прямая $y=m$ которая имеет три общие точки, то хотя бы одна из прямых $y=y ( x_1 )$ или $y=y ( x_2 )$ будет иметь ровно две общие точки.
Условие задачи будет выполнено тогда и только тогда, когда любая горизонтальная прямая будет иметь с графиком функции ровно одну общую точку, то есть если будет выполнено условие $x_1 меньше или = - 3 меньше или = x_2$ Следовательно, искомые значения параметра задаются системой неравенств:
$$$\begin{cases} - $\frac{a}{2}$ меньше или = - 3 \\[6pt] $\frac{3a - 6}{2}$ больше или = - 3 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a больше или = 6 \\[6pt] a больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно a больше или = 6$
Ответ: $[ 6; + бесконечность )$
Правильный ответ:
$левая квадратная скобка 6; плюс бесконечность правая круглая скобка$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 68801 • Задание №15
Решите неравенство: $дробь: числитель: \lg левая круглая скобка 5y в квадрате минус 2y плюс 1 правая круглая с...
ID 64663 • Задание №2
Только 94% из 27 500 выпускников города правильно решили задачу B1. Сколько человек правильно решили задачу В1...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения,
ИЛИ
в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений
| 2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений,
ИЛИ
в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения,
ИЛИ
в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений
| 2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений,
ИЛИ
в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №18 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 70718
Найдите все значения k, при каждом из которых уравнение
$дробь: числитель: 6k минус левая круг...
ID 70719
Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение $логарифм по основанию левая круглая с...
ID 70720
Найдите все значения a, при которых уравнение
$левая круглая скобка логарифм по основанию 8 ле...
ID 70721
Найдите наименьшее натуральное значение a, при котором расстояние между наибольшим и наименьшим...
ID 70722
Найдите все значения a, при которых уравнение
$левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x плюс ...