Наименьшее возможное значение третьего члена возрастающей последовательности натуральных чисел $a_3=3$ причем только если $a_1=1$ и $a_2=2$ То есть если десятичная дробь начинается так:

$0,123\ldots$ (четвертая цифра не $0$ ).

Заметим, что таким образом начинается, например, число

$m=10 в степени ( - 1 ) + 2 \cdot 10 в степени ( - 2 ) + 3 \cdot 10 в степени ( - 3 ) + \ldots + n \cdot 10 в степени ( - n ) + \ldots$

Найдем число m и проверим, удовлетворяет ли оно условиям задачи. Для этого запишем сумму подробнее.

$\beginalignm=10 в степени ( - 1 ) + 10 в степени ( - 2 ) + 10 в степени ( - 3 ) + 10 в степени ( - 4 ) + \ldots + 10 в степени ( - n ) + \ldots \ldots + 10 в степени ( - 2 ) + 10 в степени ( - 3 ) + 10 в степени ( - 4 ) + \ldots + 10 в степени ( - n ) + \ldots \ldots + 10 в степени ( - 3 ) + 10 в степени ( - 4 ) + \ldots + 10 в степени ( - n ) + \ldots \ldots + 10 в степени ( - 4 ) + \ldots + 10 в степени ( - n ) + \ldots \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \ldots + 10 в степени ( - n ) + \ldots\endalign$

В каждой строчке  — сумма геометрической прогрессии со знаменателем $10 в степени ( - 1 )$ По формуле для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, получаем:

$m=10 в степени ( - 1 ) ( $\frac{1}{1 - 10 в степени ( - 1 )}$ ) + 10 в степени ( - 2 ) ( $\frac{1}{1 - 10 в степени ( - 1 )}$ ) + \ldots + 10 в степени ( - n ) } ( $\frac{1}{1 - 10 в степени ( - 1 )}$ ) + \ldots =$ $m=$
$=10 в степени ( - 1 ) ( $\frac{1}{1 - 10 в степени ( - 1 )}$ ) + 10 в степени ( - 2 ) ( $\frac{1}{1 - 10 в степени ( - 1 )}$ ) + \ldots + 10 в степени ( - n ) } ( $\frac{1}{1 - 10 в степени ( - 1 )}$ ) + \ldots =$
$= $\frac{10}{9}$ ( 10 в степени ( - 1 ) + 10 в степени ( - 2 ) + \ldots + 10 в степени ( - n ) + \ldots ) = $\frac{10}{9}$ \cdot $\frac{1}{9}$ = \frac{10}{81}$

Следовательно, m  — рациональное число, и оно представляется дробью со знаменателем 81, что меньше ста. Число m удовлетворяет условию задачи и для этого числа $a_3=3$

Ответ: 3.

Приведем другое решение.
Ясно, что если дробь можно записать в виде 0,123..., то $a_3=3$ Вспомним, что $\frac{1}{8} = $\frac{10}{80}$ =0,125$ Чтобы уменьшить величину дроби, увеличим ее знаменатель на 1, получим $\frac{10}{81} =0,1234$ Это число дает искомый пример.

Примечание.
Возможны и другие примеры: $\frac{9}{73} , $\frac{11}{89}$ , \frac{12}{97}$