а)   Предположим, на доске написано число 300. Тогда возьмём 99 наименьших различных натуральных чисел и число 300:

1, 2, 3, ... , 98, 99, 300.

Их сумма $\frac{1 + 99}{2} \cdot 99 + 300 = 5250$ Значит, если на доске написано число 300, то сумма всех написанных чисел не может быть меньше 5250, что противоречит условию.
б)  Предположим, на доске не написано число 17. Тогда возьмём числа

1, 2, 3, ... ,15, 16, 18, 19, 20, ... , 99, 100, 101.

Их сумма $\frac{1 + 101}{2} \cdot 101 - 17 = 5134$ Значит, если на доске не написано число 17, то сумма всех написанных чисел не может быть меньше 5134, что противоречит условию.
в)  Первыми шестью числами, кратными 17, являются числа 17, 34, 51, 68, 85, 102. Предположим, что на доске меньше трёх чисел, кратных 17. Возьмём сто различных натуральных чисел от 1 до 100, и три числа 51, 68 и 85 заменим на 101, 103, 104 (следующие наименьшие числа, не кратные 17). Получаем числа

1, 2, 3, ... , 49, 50, 52, 53, ... , 66, 67, 69, 70, ... , 83, 84, 86, 87, ... , 100, 101, 103, 104.

Их сумма $\frac{1 + 104}{2} \cdot 104 - 51 - 68 - 85 - 102 = 5154$ Значит, если на доске написано меньше трёх чисел, кратных 17, то сумма всех написанных чисел не может быть меньше 5154, что противоречит условию. Значит, на доске не может быть написано меньше трёх чисел, кратных 17.
Приведём пример, для которого выполняются все условия задачи, когда на доске написано три числа кратных 17 (17, 34 и 51):

1, 2, 3, ... , 66, 67, 69, 70, ... , 83, 84, 86, 87, ... , 100, 101, 132.

Ответ: а) нет, б) нет, в) 3.