Ясно, что зачетные пары  — ровно те, в которых есть хоть одно из $45 - 33=12$ четных чисел.
а)  Да. Например, пусть четные числа стоят в первых двух столбцах и в двух оставшихся углах доски. Тогда зачетные пары либо содержат эти углы, либо две клетки внутри одного из первых столбцов, либо две клетки в строке, из которых левая в первых двух столбцах и всего их $2 + 2 + 4 + 4 + 5 + 5=22$
б)  Нет. Каждое число может входить не более чем в 4 пары, поэтому 12 чисел не дадут более 48 зачетных пар.
в)  Ответ 47. Пример: четными числами заняты клетки 2, 4, 6, 8 во второй и четвертой строках и клетки 1, 3, 5, 7 в средней. Тогда все числа, кроме того, что в первой клетке средней строки, участвует в четырех зачетных парах, а оно в трех.
Докажем, что сделать 48 нельзя (больше нельзя точно). Для этого каждое число должно участвовать ровно в четырех зачетных парах. Значит, нельзя ставить четные числа на краю доски (там 4 пары не набрать). Кроме того, нельзя ставить их рядом  — тогда одна и та же пара клеток будет посчитана дважды. Итак, все они должны стоять в центральном прямоугольнике 3 · 7, при этом не быть соседними. Но этот прямоугольник можно разбить на 10 прямоугольников 1 · 2 и еще одну клетку (например 7 прямоугольников во второй и третьей строках стоят по столбцам, а еще три в оставшейся строке горизонтально), а в каждый прямоугольник можно взять не более одной клетки с четным числом, поэтому всего их максимум $10 + 1 меньше 12$ противоречие.

Ответ: а) да, б) нет, в) 47.