Используя формулу суммы геометрической прогрессии, упростим данное выражение

$f ( x ) = $\frac{x в степени ( 2k + 2 ) - 1}{x ^2 - 1}$ : $\frac{x в степени ( k + 1 ) - 1}{x - 1}$ = $\frac{( x в степени ( 2k + 2 ) - 1 ) ( x - 1 )}{( x в степени ( k + 1 ) - 1 ) ( x ^2 - 1 )}$ = $\frac{( x в степени ( k + 1 ) - 1 ) ( x в степени ( k + 1 ) + 1 ) ( x - 1 )}{( x в степени ( k + 1 ) - 1 ) ( x - 1 ) ( x + 1 )}$ = \frac{x в степени ( k + 1 ) + 1}{x + 1}$ при $x не = \pm 1$

Сразу отметим, что при $x=1$ имеем $p ( x ) =q ( x ) =k + 1$ поэтому $f ( 1 ) =1$   — целое. При $x= - 1$ имеем $p ( x ) =k + 1$ $q ( x ) =1$ или $q ( x ) =0$ поэтому $f ( - 1 ) =k + 1$   — целое либо не определено. Поэтому в дальнейшем можно не думать про эти ограничения.
а)   $f ( x ) = \frac{x в степени 4 + 1}{x + 1}$   — не целое при $x=2$ $f ( 2 ) = \frac{17}{3}$
б)   $f ( x ) = $\frac{x ^3 + 1}{x + 1}$ =x ^2 - x + 1$   — целое при целых x.
в)  Как известно, при нечетном n верна формула $a в степени n + b в степени n = ( a + b ) ( a в степени ( n - 1 ) - a в степени ( n - 2 ) b + \ldots + b в степени ( n - 1 ) )$ Поэтому при четных k многочлен $x в степени ( k + 1 ) + 1$ всегда делится на $x + 1$ и потому частное будет целым при целых x.
При нечетных k имеем $x в степени ( k + 1 ) + 1= ( x в степени ( k + 1 ) + x ) - x + 1= x ( x в степени k + 1 ) + 1 - x$ Выражение в скобках кратно $x + 1$ поэтому можно будет записать $f ( x )$ в виде суммы многочлена с целыми коэффициентами и дроби $\frac{1 - x}{1 + x}$ дающей нецелое число при $x=2$

Ответ: а) да, б) нет, в) при четных.