К решению этой задачи можно подойти иначе, чем в задании 634238.

Из формулы

$a_k + 2=2 a_k + 1 - a_k + 1 \qquad ( 1 )$

получим следующую формулу

$a_k + 2 - a_k + 1=a_k + 1 - a_k + 1$

Левую часть обозначим $a_k + 2 - a_k + 1=d_k + 1$ а правую часть представим $a_k + 1 - a_k + l=d_k + 1$ Тогда формула (1) выглядит $d_k + 1=d_k + 1$ где dk  — это разность между $a_k + 1$ и ak.
Каждая последующая разность увеличивается на единицу. Приведем пример такой последовательности при n  =  5, в которой $a_5=3$
a) Пусть $a_2 - a_1=d_1$ или $a_2=a_1 + d_1$ тогда:
1)  при k  =  1, получим $a_3 - a_2=a_2 - a_1 + 1$ откуда $a_3 - a_2=d_2$ или $a_3=a_2 + d_2$ тогда

$a_3=a_1 + d_1 + d_2$

2)  при k  =  2, получим $a_4 - a_3=d_3$ тогда $a_4=a_3 + d_3=a_1 + d_1 + d_2 + d_3$ или

$a_4=a_1 + d_1 + ( d_1 + 1 ) + ( d_1 + 2 )$

3)  при k  =  3, получим $a_5 - a_4=d_4$ тогда $a_5=a_4 + d_4=a_1 + d_1 + d_2 + d_3 + d_4$ или

$a_5=a_1 + d_1 + ( d_1 + 1 ) + ( d_1 + 2 ) + ( d_l + 3 )$

При n  =  5 и $a_5=3$ получим

$a_5=a_1 + 4 d_1 + 6=3$ $a_1 + 4 d_l= - 3, d_1= \frac{ - 3 - a_1}{4}$

где d1  — целое число, следовательно, $( - 3 - a_1 )$ кратно 4.
При a1  =  5 разность $d_1= - 2$ тогда

$a_2=5 - 2=3$ $a_3=3 - 1=2$ $a_4=2 + 0=2$ $a_5=2 + 1=3$

Искомая последовательность может быть представлена в виде: 5; 3; 2; 2; 3.
б)  Может ли в такой последовательности оказаться так, что $a_3=a_11:$

$a_3=a_1 + d_1 + d_2=a_1 + 2 d_1 + 1$ $a_11=a_1 + d_1 + d_2 + \ldots + d_10=a_1 + 10 d_1 + 45$

Если $a_3=a_11$ то получим следующее равенство:

$a_1 + 2 d_1 + 1=a_1 + 10 d_1 + 45 = сильно 8 d_1= - 44$

откуда $d_1= - $\frac{44}{8}$ = - \frac{11}{2}$   — не целое. Тогда последовательность не может состоять из натуральных чисел. Следовательно, $a_3 не = q a_11$
в)  При каком наибольшем n такая последовательность может состоять только из чисел, не превосходящих 50?
Мы заметили, что с возрастанием индекса k значение dk увеличивается. Поэтому, чтобы членов последовательности, не превосходящих 50 , было больше, потребуем, чтобы d1 было отрицательным, тогда dk с возрастанием k будет увеличивается и минимальный член последовательности $a_\min$ достигнет своего значения при $d_k=0$
Тогда

$a_\min =a_1 + d_1 + d_2 + \ldots + ( - 1 ) + 0=a_1 + d_1 + ( d_1 + 1 ) + ( d_1 + 2 ) + \ldots + ( - 1 ) + 0$ $a_\min =a_1 + d_1 + d_2 + \ldots + ( - 1 ) + 0=$
$=a_1 + d_1 + ( d_1 + 1 ) + ( d_1 + 2 ) + \ldots + ( - 1 ) + 0$

Для удобства решения заменим $ - d_l=P$ тогда P  — положительное число. Значит,

$a_\min =a_1 - P - ( P - 1 ) - ( P - 2 ) \ldots - 1=$
$=a_1 - ( P + ( P - 1 ) + ( P - 2 ) + \ldots + 1 ) =a_1 - $\frac{( 1 + P ) \cdot P}{2}$ больше или = 1$ $a_\min =a_1 - P - ( P - 1 ) - ( P - 2 ) \ldots - 1=$
$=a_1 - ( P + ( P - 1 ) + ( P - 2 ) + \ldots + 1 ) =$
$=a_1 - $\frac{( 1 + P ) \cdot P}{2}$ больше или = 1$

следовательно, при $a_1 больше или = 50$ получаем

$50 - $\frac{P ( P + 1 )}{2}$ больше или = 1 \Rightarrow P ^2 + P - 98 меньше или = 0 \Rightarrow P меньше или = 9$

тогда $d_1 \geqslant - 9$
В нашей последовательности разности dk принимают значения от −9 до 9, всего разностей dk будет 19 (вместе с нулевым значением), а членов последовательности будет 20 (с учетом a1). Мы получим следующую последовательность

$\{ 50, 41, 33, 26, 20, 15, 11, 8, 6, 5, 5, 6, 8, 11, 15, 20, 26, 33, 41, 50 \}$

Ответ: a) 5, 3, 2, 2, 3; б) нет; в) n  =  20.

Примечание.
Следует обратить внимание учащихся на тот момент, что при $d_1 меньше 0$ члены последовательности сначала убывают, а начиная с $d_k=0$ члены последовательности начинают возрастать. То есть последовательность состоит из двух «участков»: «участка» убывания и «участка» возрастания.
В некоторых задачах поставлен такой вопрос: «Может ли в такой последовательности некоторое число встретиться три раза»? Конечно же, нет. На участке возрастания, как и на участке убывания, каждое число встречается не более одного раза. В последовательности некоторое число может встретиться 2 раза при $d_k= - 1$ и $d_k + 1=0$