Обозначим числа, записанные Васей, через $x_1,x_2,...,x_n,x_1,x_2,...,x_n$
а)  Может. Маша должна сначала узнать суммы $x_1 + x_2 + x_3$ $x_2 + x_3 + x_4$ $x_3 + x_4 + x_5$ $x_4 + x_5 + x_1$ $x_5 + x_1 + x_2$ Сложив эти пять сумм, Маша получит число $3 ( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 )$ при делении которого на 3 получается сумма $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5$ Вычитая из суммы $x_1 + ... + x_5$ сумму $x_1 + x_2 + x_3$ Маша узнает $x_4 + x_5$ Теперь Маша может узнать $x_1$ вычитая из $x_4 + x_5 + x_1$ сумму $x_4 + x_5$ Аналогично получаются другие числа.
б)  Не может. Например, Вася может взять в качестве исходной последовательности 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2 или 2, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 1, 3, и Маша не сможет различить эти два случая  — суммы любых трёх подряд идущих чисел в каждом из этих случаев равны 6.
в)  Докажем, что Маша может выиграть за 22 хода, узнав значения всех возможных сумм троек подряд идущих чисел. Сложив суммы $x_1 + x_2 + x_3$ $x_2 + x_3 + x_4$ $x_21 + x_22 + x_1$ $x_22 + x_1 + x_2$ Маша получит $3 ( x_1 + ... + x_22 )$ Складывая суммы $x_1 + x_2 + x_3$ $x_4 + x_5 + x_6$ $x_19 + x_20 + x_21$ Маша узнает сумму всех чисел, кроме $x_22$ Вычитая из суммы $x_1 + x_2 + ... + x_22$ сумму $x_1 + x_2 + ... + x_21$ Маша узнает, чему = $x_22$ Таким же способом Маша может узнать все прочие числа.
Теперь докажем, что Маша не может выиграть за меньшее число ходов. Для этого достаточно привести пример двух различных последовательностей $x_1,x_2,...,x_22,x_1,x_2,...,x_22$ и $y_1,y_2,...,y_22,y_1,y_2,...,y_22$ в которых суммы всех последовательных троек чисел равны, кроме одной. Для определённости можно считать, что $x_22 + x_1 + x_2 не = y_22 + y_1 + y_2$
В качестве $x_1,x_2,...,x_22$ и $y_1,y_2,...,y_22$ можно взять $x_i=0 ( i=1,...,22 )$ и $\underbrace - 1, - 1,2,..., - 1, - 1,2,_ - 1, - 1,2повторяется 7 раз - 1$
В первой последовательности все суммы нулевые, тогда как во второй $y_22 + y_1 + y_2= - 3$

Ответ: а)  может; б)  не может; в)  22.