[рис.] В тепловом двигателе 1 моль одноатомного разреженного газа совершает цикл 1−2−3−4−1, показанный на графике в координатах p–T, где p — давление газа, Т — абсолютная температура. Температуры в точках 2 и 4 равны и превышают температуру в точке 1 в 2 раза. Определите КПД цикла.
💡 Пошаговый разбор и решение:
1. Рассмотрим процессы, происходящие на каждом участке:
На участке 1−2 происходит изохорное нагревание (V1 = V2), при котором по графику температура увеличивается в 2 раза. Значит, исходя из закона $\frac{p_2}{p_1} = \frac{T_2}{T_1}$ давление увеличивается в 2 раза.
На участке 2−3 происходит изобарное нагревание, при котором по закону $\frac{V_3}{V_2} = \frac{T_3}{T_2}$ или $\frac{V_3}{V_1} = \frac{T_3}{2T_1}$
На участке 3−4 происходит изохорное охлаждение, при котором по закону $\frac{p_4}{p_3} = \frac{T_4}{T_3}$ или $\frac{p_4}{2p_1} = \frac{2T_1}{T_3}$
На участке 4−1 происходит изобарное охлаждение. Тогда в предыдущем уравнении $\frac{p_1}{2p_1} = \frac{2T_1}{T_3}$ откуда T3 = 4T1.
2. Найдем работу газа за цикл. На участках 1−2 и 3−4 объемы не меняются, поэтому работа не совершается. Следовательно, работы за цикл равна:
A = A2−3 + A4−1,
$A_2 - 3= \nu R ( T_3 - T_2 )$ $R ( 4T_1 - 2T_1 ) =2\nu RT_1$
$A_4 - 1=\nu R ( T_1 - T_4 ) = - \nu RT_1$
$A=\nu RT_1$
3. Газ получает теплоту на участках 1–2 и 2–3. Найдем количество теплоты на каждом участке, применив первый закон термодинамики:
$Q_1 - 2=\Delta U_1 - 2= $\frac{3}{2}$ \nu R ( T_2 - T_1 ) =1,5\nu RT_1$
$Q_2 - 3=\Delta U_2 - 3 + A_2 - 3= $\frac{3}{2}$ \nu R ( T_3 - T_2 ) + \nu R ( T_3 - T_2 ) = $\frac{5}{2}$ \nu R ( 4T_1 - 2T_1 ) =5\nu RT_1$ $Q_2 - 3=\Delta U_2 - 3 + A_2 - 3= $\frac{3}{2}$ \nu R ( T_3 - T_2 ) + \nu R ( T_3 - T_2 ) =$
$= $\frac{5}{2}$ \nu R ( 4T_1 - 2T_1 ) =5\nu RT_1$ $Q_2 - 3=\Delta U_2 - 3 + A_2 - 3=$
$= $\frac{3}{2}$ \nu R ( T_3 - T_2 ) + \nu R ( T_3 - T_2 ) =$
$= $\frac{5}{2}$ \nu R ( 4T_1 - 2T_1 ) =5\nu RT_1$
$Q_пол=Q_1 - 2 + Q_2 - 3=6,5\nu RT_1$
4. Найдем КПД циклического процесса:
$\eta= $\frac{A}{Q_пол}$ = $\frac{\nu RT_1}{6,5\nu RT_1}$ = $\frac{1}{6,5}$ \approx15\%$
Ответ: 15%.
На участке 1−2 происходит изохорное нагревание (V1 = V2), при котором по графику температура увеличивается в 2 раза. Значит, исходя из закона $\frac{p_2}{p_1} = \frac{T_2}{T_1}$ давление увеличивается в 2 раза.
На участке 2−3 происходит изобарное нагревание, при котором по закону $\frac{V_3}{V_2} = \frac{T_3}{T_2}$ или $\frac{V_3}{V_1} = \frac{T_3}{2T_1}$
На участке 3−4 происходит изохорное охлаждение, при котором по закону $\frac{p_4}{p_3} = \frac{T_4}{T_3}$ или $\frac{p_4}{2p_1} = \frac{2T_1}{T_3}$
На участке 4−1 происходит изобарное охлаждение. Тогда в предыдущем уравнении $\frac{p_1}{2p_1} = \frac{2T_1}{T_3}$ откуда T3 = 4T1.
2. Найдем работу газа за цикл. На участках 1−2 и 3−4 объемы не меняются, поэтому работа не совершается. Следовательно, работы за цикл равна:
A = A2−3 + A4−1,
$A_2 - 3= \nu R ( T_3 - T_2 )$ $R ( 4T_1 - 2T_1 ) =2\nu RT_1$
$A_4 - 1=\nu R ( T_1 - T_4 ) = - \nu RT_1$
$A=\nu RT_1$
3. Газ получает теплоту на участках 1–2 и 2–3. Найдем количество теплоты на каждом участке, применив первый закон термодинамики:
$Q_1 - 2=\Delta U_1 - 2= $\frac{3}{2}$ \nu R ( T_2 - T_1 ) =1,5\nu RT_1$
$Q_2 - 3=\Delta U_2 - 3 + A_2 - 3= $\frac{3}{2}$ \nu R ( T_3 - T_2 ) + \nu R ( T_3 - T_2 ) = $\frac{5}{2}$ \nu R ( 4T_1 - 2T_1 ) =5\nu RT_1$ $Q_2 - 3=\Delta U_2 - 3 + A_2 - 3= $\frac{3}{2}$ \nu R ( T_3 - T_2 ) + \nu R ( T_3 - T_2 ) =$
$= $\frac{5}{2}$ \nu R ( 4T_1 - 2T_1 ) =5\nu RT_1$ $Q_2 - 3=\Delta U_2 - 3 + A_2 - 3=$
$= $\frac{3}{2}$ \nu R ( T_3 - T_2 ) + \nu R ( T_3 - T_2 ) =$
$= $\frac{5}{2}$ \nu R ( 4T_1 - 2T_1 ) =5\nu RT_1$
$Q_пол=Q_1 - 2 + Q_2 - 3=6,5\nu RT_1$
4. Найдем КПД циклического процесса:
$\eta= $\frac{A}{Q_пол}$ = $\frac{\nu RT_1}{6,5\nu RT_1}$ = $\frac{1}{6,5}$ \approx15\%$
Ответ: 15%.
Правильный ответ:
15%
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 106942 • Задание №18
Выберите все верные утверждения о физических явлениях, величинах и закономерностях. Запишите цифры, под которы...
ID 104243 • Задание №7
Как изменится ускорение заряженной пылинки, движущейся в электрическом поле, если и заряд пылинки, и напряженн...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
I. Записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: первое начало термодинамики, уравнение Клапейрона — Менделеева, выражение для теплоты парообразования данной массы вещества, формула работы газа).
II. Описаны все вновь вводимые в решении буквенные обозначения физических величин (за исключением обозначений констант, указанных в варианте КИМ, обозначений, используемых в условии задачи, и стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов).
III. Проведены необходимые математические преобразования и расчеты, приводящие к правильному числовому ответу (допускается решение «по частям» с промежуточными вычислениями).
IV. Представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины. | 3
Правильно записаны все необходимые положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования. Но имеются один или несколько из следующих недостатков.
Записи, соответствующие пункту II, представлены не в полном объеме или отсутствуют.
И (ИЛИ)
В решении имеются лишние записи, не входящие в решение (возможно, неверные), которые не отделены от решения (не зачеркнуты; не заключены в скобки, рамку и т. п.).
И (ИЛИ)
В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги.
И (ИЛИ)
Отсутствует пункт IV, или в нем допущена ошибка. | 2
Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев.
Представлены только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи.
ИЛИ
В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решения данной задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.
ИЛИ
В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. | 1
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3 балла. | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
I. Записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: первое начало термодинамики, уравнение Клапейрона — Менделеева, выражение для теплоты парообразования данной массы вещества, формула работы газа).
II. Описаны все вновь вводимые в решении буквенные обозначения физических величин (за исключением обозначений констант, указанных в варианте КИМ, обозначений, используемых в условии задачи, и стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов).
III. Проведены необходимые математические преобразования и расчеты, приводящие к правильному числовому ответу (допускается решение «по частям» с промежуточными вычислениями).
IV. Представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины. | 3
Правильно записаны все необходимые положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования. Но имеются один или несколько из следующих недостатков.
Записи, соответствующие пункту II, представлены не в полном объеме или отсутствуют.
И (ИЛИ)
В решении имеются лишние записи, не входящие в решение (возможно, неверные), которые не отделены от решения (не зачеркнуты; не заключены в скобки, рамку и т. п.).
И (ИЛИ)
В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги.
И (ИЛИ)
Отсутствует пункт IV, или в нем допущена ошибка. | 2
Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев.
Представлены только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи.
ИЛИ
В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решения данной задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.
ИЛИ
В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. | 1
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3 балла. | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №24 по предмету Физика:
ID 108096
Сферическую оболочку воздушного шара делают из материала, квадратный метр которого имеет массу ...
ID 108097
Воздушный шар имеет газонепроницаемую оболочку массой 400 кг и наполнен гелием. Какова масса ге...
ID 108098
Теплоизолированный цилиндр разделен подвижным теплопроводным поршнем на две части. В одной част...
ID 108099
[рис.] Воздушный шар, оболочка которого имеет массу M = 145 кг и объем V = 230 м3, наполняе...
ID 108100
[рис.] В вертикальном цилиндрическом сосуде с гладкими стенками под поршнем массой m = 10 кг ...