a)   Последовательно получаем:

$\sqrt{аргумента: 5 \sin x + \cos 2x} аргумента + 2 \cos x=0 = сильно $\sqrt{аргумента: 5 \sin x + \cos 2x}$ аргумента = - 2 \cos x$

Очевидно, что равенство возможно только при выполнении условия $\cos x меньше или = 0$ т. е. при условии выполнения неравенства $\frac{\pi}{2} + 2 \pi n меньше или = x меньше или = $\frac{3 \pi}{2}$ + 2 \pi n,n принадлежит Z$ Для таких $x:$

$5 \sin x + \cos 2x - 4 \cos ^2 x=0 = сильно 5 \sin x + \cos 2x - 4 + 4 \sin ^2 x=0 = сильно$
$ = сильно 5 \sin x - 1 + \cos 2x - 3 + 4 \sin ^2 x=0 = сильно 5 \sin x - 2 \sin ^2 x + 4 \sin ^2 x - 3=0 = сильно$ $ = сильно 5 \sin x - 1 + \cos 2x - 3 + 4 \sin ^2 x=0 = сильно$
$ = сильно 5 \sin x - 2 \sin ^2 x + 4 \sin ^2 x - 3=0 = сильно$

$ = сильно 2 \sin ^2 x + 5 \sin x - 3=0 = сильно \sin x= \frac{ - 5\pm $\sqrt{аргумента: 25 + 24}$ аргумента}{4} = сильно \sin x= $\frac{ - 5\pm 7}{4}$ = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка \sin x= $\frac{1}{2}$ , новая строка \sin x= - 3 \end{array} \right. . = сильно$ $ = сильно 2 \sin ^2 x + 5 \sin x - 3=0 = сильно \sin x= \frac{ - 5\pm $\sqrt{аргумента: 25 + 24}$ аргумента}{4} = сильно$
$ = сильно \sin x= $\frac{ - 5\pm 7}{4}$ = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка \sin x= $\frac{1}{2}$ , новая строка \sin x= - 3 \end{array} \right. . = сильно$ $ = сильно 2 \sin ^2 x + 5 \sin x - 3=0 = сильно$
$ = сильно \sin x= \frac{ - 5\pm $\sqrt{аргумента: 25 + 24}$ аргумента}{4} = сильно$
$ = сильно \sin x= $\frac{ - 5\pm 7}{4}$ = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка \sin x= $\frac{1}{2}$ , новая строка \sin x= - 3 \end{array} \right. . = сильно$

$ = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x= $\frac{\pi}{6}$ + 2 \pi n, новая строка x= $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi n \end{array} \right. . = сильно x= $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi n,n принадлежит Z$

Уравнение $\sin x= - 3$ решений не имеет.
б)  Выборка корней:

$ - 2 \pi меньше или = $\frac{5}{6}$ \pi + 2 \pi n меньше или = - $\frac{\pi}{2}$ = сильно - 2 меньше или = $\frac{5}{6}$ + 2n меньше или = - $\frac{1}{2}$ = сильно - 12 меньше или = 5 + 12n меньше или = - 3 = сильно - 17 меньше или = 12n меньше или = - 8 = сильно$ $ - 2 \pi меньше или = $\frac{5}{6}$ \pi + 2 \pi n меньше или = - $\frac{\pi}{2}$ = сильно - 2 меньше или = $\frac{5}{6}$ + 2n меньше или = - $\frac{1}{2}$ = сильно$
$ = сильно - 12 меньше или = 5 + 12n меньше или = - 3 = сильно - 17 меньше или = 12n меньше или = - 8 = сильно$

$ = сильно - $\frac{17}{12}$ меньше или = n меньше или = - $\frac{2}{3}$ = сильно n= - 1$

При $n= - 1$ $x= $\frac{5 \pi}{6}$ - 2 \pi = - \frac{7 \pi}{6}$

Ответ: $а ) $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi n,n принадлежит Z$ б) $ - \frac{7 \pi}{6}$