Последовательно получаем:

$\sin ( 2 в степени ( x ) ) =1 = сильно 2 в степени ( x ) = $\frac{\pi}{2}$ + 2 \pi n,n принадлежит Z = сильно$
$ = сильно 2 в степени ( x ) =2 в степени ( \log ) _2 ( $\frac{\pi}{2}$ + 2 \pi n ) |n больше или = 0,n принадлежит Z = сильно x=\log _2 ( $\frac{\pi}{2}$ + 2 \pi n ) |n больше или = 0,n принадлежит Z$ $\sin ( 2 в степени ( x ) ) =1 = сильно 2 в степени ( x ) = $\frac{\pi}{2}$ + 2 \pi n,n принадлежит Z = сильно$
$ = сильно 2 в степени ( x ) =2 в степени ( \log ) _2 ( $\frac{\pi}{2}$ + 2 \pi n ) |n больше или = 0,n принадлежит Z = сильно$
$ = сильно x=\log _2 ( $\frac{\pi}{2}$ + 2 \pi n ) |n больше или = 0,n принадлежит Z$

Для решения неравенства $\left| 2 в степени ( x ) - 1 | + \left| 2 в степени ( x ) - 8 | меньше или = 7$ воспользуемся геометрическим смыслом модуля. Левая ее часть на числовой прямой представляет собой сумму расстояний от точки $( 2 в степени ( x ) )$ до точек (1) и (8) не больше 7. Следовательно, верно неравенство

$1 меньше или = 2 в степени ( x ) меньше или = 8 = сильно 2 в степени ( 0 ) меньше или = 2 в степени ( x ) меньше или = 2 ^3 = сильно 0 меньше или = x меньше или = 3$

Теперь найдем целочисленные значения x, удовлетворяющие условию $0 меньше или = x меньше или = 3$
Если n  =  0, то: $x=\log _2 \frac{\pi}{2}$ Ясно, что $\log _2 $\frac{\pi}{2}$ больше 0$ Докажем, что $\log _2 $\frac{\pi}{2}$ меньше 3$

$\log _2 $\frac{\pi}{2}$ меньше 3 = сильно \log _2 $\frac{\pi}{2}$ меньше \log _28 = сильно $\frac{\pi}{2}$ меньше 8 = сильно \pi меньше 16$

(неравенство очевидное).
Если n  =  1, то $x=\log _2 ( $\frac{\pi}{2}$ + 2 \pi ) =\log _2 \frac{5 \pi}{2}$ Очевидно, что $\log _2 $\frac{5 \pi}{2}$ больше 0$ Докажем, что $\log _2 $\frac{5 \pi}{2}$ меньше 3$ Действительно, $\log _2 $\frac{5 \pi}{2}$ меньше 3$ $ = сильно$ $\frac{5 \pi}{2} меньше 8$ $ = сильно$ $5 \pi меньше 16$ $ = сильно$ $\pi меньше 3,2$ Получили очевидное неравенство.
Заметим, что при $n больше или = 2$ будет выполнено неравенство $x больше 3$ Действительно, уже при $n=2$ имеем:

$\log _2 $\frac{9 \pi}{2}$ больше 3 = сильно $\frac{9 \pi}{2}$ больше 8 = сильно 9 \pi больше 16 = сильно \pi больше \frac{16}{9}$

(неравенство очевидное).

Ответ: $\log _2 \frac{\pi}{2}$ $\log _2 \frac{5 \pi}{2}$