Найдем ограничения на $x$ Обратим внимание на то, что левая часть неравенства имеет смысл при одном условии: оба выражения $( 7 в степени ( - x ) ^2 - 3 ) \cdot ( 7 в степени ( - x ) ^2 + 16 - 1 )$ и $\frac{7 в степени ( - x ) ^2 - 3}{7 в степени ( - x ) ^2 + 16 - 1}$ обязаны быть положительными. А это значит, что каждое из выражений: $7 в степени ( - x ) ^2 - 3$ и $7 в степени ( - x ) ^2 + 16 - 1$ должны иметь одинаковый знак: либо оба положительны, либо оба отрицательны. Такое условие будет выполнено, если будет верным неравенство $( 7 в степени ( - x ) ^2 - 3 ) \cdot ( 7 в степени ( - x ) ^2 + 16 - 1 ) больше 0$
Оценим $7 в степени ( - x ) ^2 - 3$ Очевидно, что $0 меньше $\frac{1}{7 в степени ( x ) ^2}$ меньше или = 1$ т. е. для любого $x принадлежит R :$

$0 меньше 7 в степени ( - x ) ^2 меньше или = 1 = сильно - 3 меньше 7 в степени ( - x ) ^2 - 3 меньше или = - 2$

Следовательно, $7 в степени ( - x ) ^2 - 3 меньше 0$ при любом значении $x принадлежит R$ Отсюда вывод: выражение $7 в степени ( - x ) ^2 + 16 - 1$ также обязано быть отрицательным. Последнее условие будет выполнено, если имеет место неравенство $7 в степени ( - x ) ^2 + 16 меньше 1$ Решим его:

$7 в степени ( - x ) ^2 + 16 меньше 1 = сильно x ^2 - 16 больше 0 = сильно x ^2 больше 16 = сильно \left[ \begin{array}{l} x меньше - 4 x больше 4 \end{array} \right.$

Теперь найдем знак выражения $7 в степени ( - x ) ^2 + 7 - 2$ Выше было выявлено, что $7 в степени ( - x ) ^2 + 16 - 1 меньше 0$ Это значит, что

$7 в степени ( - x ) ^2 + 16 меньше 1 = сильно 7 в степени ( - x ) ^2 + 7 \cdot 7 в степени ( 9 ) меньше 1 = сильно 7 в степени ( - x ) ^2 + 7 - 2 меньше $\frac{1}{7 в степени ( 9 )}$ - 2$

Ясно, что $\frac{1}{7 в степени ( 9 )} - 2 меньше 0$ Следовательно, $7 в степени ( - x ) ^2 + 7 - 2 меньше 0$
Когда нам известен знак каждого из выражений $7 в степени ( - x ) ^2 - 3, 7 в степени ( - x ) ^2 + 16 - 1$ и $7 в степени ( - x ) ^2 + 7 - 2$ мы вправе переписать заданное неравенство так:

$\log _2 ( 3 - 7 в степени ( - x ) ^2 ) + \log _2 ( 1 - 7 в степени ( - x ) ^2 + 16 ) + \log _2 ( 3 - 7 в степени ( - x ) ^2 ) - \log _2 ( 1 - 7 в степени ( - x ) ^2 + 16 ) больше 2\log _2 ( 2 - 7 в степени ( 7 - x ) ^2 )$ $\log _2 ( 3 - 7 в степени ( - x ) ^2 ) + \log _2 ( 1 - 7 в степени ( - x ) ^2 + 16 ) + \log _2 ( 3 - 7 в степени ( - x ) ^2 ) - $
$ - \log _2 ( 1 - 7 в степени ( - x ) ^2 + 16 ) больше 2\log _2 ( 2 - 7 в степени ( 7 - x ) ^2 )$

Оно = сильно цепочке следующих неравенств:

$2\log _2 ( 3 - 7 в степени ( - x ) ^2 ) больше 2\log _2 ( 2 - 7 в степени ( 7 - x ) ^2 ) = сильно 3 - 7 в степени ( - x ) ^2 больше 2 - 7 в степени ( 7 - x ) ^2 = сильно$

$ = сильно 7 в степени ( - x ) ^2 - 7 в степени ( 7 - x ) ^2 меньше 1 = сильно 7 в степени ( - x ) ^2 ( 1 - 7 в степени ( 7 ) ) меньше 1 = сильно 7 в степени ( x ) ^2 \cdot 7 в степени ( - x ) ^2 ( 1 - 7 в степени ( 7 ) ) меньше 7 в степени ( x ) ^2 = сильно 1 - 7 в степени ( 7 ) меньше 7 в степени ( x ) ^2$ $ = сильно 7 в степени ( - x ) ^2 - 7 в степени ( 7 - x ) ^2 меньше 1 = сильно 7 в степени ( - x ) ^2 ( 1 - 7 в степени ( 7 ) ) меньше 1 = сильно$
$ = сильно 7 в степени ( x ) ^2 \cdot 7 в степени ( - x ) ^2 ( 1 - 7 в степени ( 7 ) ) меньше 7 в степени ( x ) ^2 = сильно 1 - 7 в степени ( 7 ) меньше 7 в степени ( x ) ^2$

Последнее неравенство верно при всех значениях переменной x, так как $1 - 7 в степени ( 7 ) меньше 0$ $7 в степени ( x ) ^2 больше 0$
Итак, заданное неравенство верно при всех допустимых значениях x, т. е при $x принадлежит ( - бесконечность ; - 4 ) \cup ( 4; + бесконечность )$

Ответ: $( - бесконечность ; - 4 ) \cup ( 4; + бесконечность )$