Найдем ограничения на x.

$$$\begin{cases} новая строка x + 0 \\[6pt] 5 больше 0 \\[6pt] новая строка x + 0 \\[6pt] 5 не = 1 \\[6pt] новая строка 2 в степени ( 2x ) - 6 \cdot 2 в степени ( x ) + 8 больше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка x больше - 0 \\[6pt] 5 \\[6pt] новая строка x не = 0 \\[6pt] 5 \\[6pt] новая строка 2 в степени ( x ) меньше 2 \end{cases}$$$

или

$$$\begin{cases} новая строка x больше - 0 \\[6pt] 5 \\[6pt] новая строка x не = 0 \\[6pt] 5 \\[6pt] новая строка 2 в степени ( x ) больше 4 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка x больше - 0 \\[6pt] 5 \\[6pt] новая строка x не = 0 \\[6pt] 5 \\[6pt] новая строка x меньше 1 \end{cases}$$$

или

$$$\begin{cases} новая строка x больше - 0 \\[6pt] 5 \\[6pt] новая строка x не = 0 \\[6pt] 5 \\[6pt] новая строка x больше 2 \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка $$\begin{cases} новая строка x больше - 0 \\[6pt] 5 \\[6pt] новая строка x не = 0 \\[6pt] 5 \\[6pt] новая строка x меньше 1 \end{cases}$$ . новая строка x больше 2 \end{array} \right. . = сильно x принадлежит ( - $\frac{1}{2}$ ; $\frac{1}{2}$ ) \cup ( $\frac{1}{2}$ ;1 ) \cup ( 2; + бесконечность )$

Заданное неравенство далее будем рассматривать только на множестве $M= ( - $\frac{1}{2}$ ; $\frac{1}{2}$ ) \cup ( $\frac{1}{2}$ ;1 ) \cup ( 2; + бесконечность )$
На М:

$\frac{\log _x + 0,5 ( 4 в степени ( x ) - 3 \cdot 2 в степени ( x + 1 ) + 8 )}{\log _ $\sqrt{аргумента: x + 0,5}$ аргумента 2} меньше или = x = сильно $\frac{\log _x + 0,5 ( 4 в степени ( x ) - 3 \cdot 2 в степени ( x + 1 ) + 8 )}{\log _x + 0,54}$ меньше или = x = сильно$

$ = сильно \log _4 ( 4 в степени ( x ) - 3 \cdot 2 в степени ( x + 1 ) + 8 ) меньше или = \log _44 в степени ( x ) = сильно 4 в степени ( x ) - 3 \cdot 2 в степени ( x + 1 ) + 8 меньше или = 4 в степени ( x ) = сильно$

$ = сильно 6 \cdot 2 в степени ( x ) больше или = 8 = сильно 2 в степени ( x ) больше или = $\frac{4}{3}$ = сильно 2 в степени ( x ) больше или = 2 в степени ( \log ) _2 $\frac{4}{3}$ = сильно x больше или = 2 - \log _23$

Покажем, что $0 меньше 2 - \log _23 меньше или = \frac{1}{2}$ Действительно,

$0 меньше 4 - 2\log _23 меньше или = 1 = сильно - 4 меньше - 2\log _23 меньше или = - 3 = сильно$
$ = сильно 3 меньше \log _29 меньше или = 4 = сильно \log _28 меньше \log _29 меньше или = \log _216 = сильно 8 меньше 9 меньше или = 16$ $0 меньше 4 - 2\log _23 меньше или = 1 = сильно$
$ = сильно - 4 меньше - 2\log _23 меньше или = - 3 = сильно 3 меньше \log _29 меньше или = 4 = сильно$
$ = сильно \log _28 меньше \log _29 меньше или = \log _216 = сильно 8 меньше 9 меньше или = 16$

(неравенство очевидное).
С учетом ограничений на х получим ответ: $[ 2 - \log _23; $\frac{1}{2}$ ) \cup ( $\frac{1}{2}$ ;1 ) \cup ( 2; + бесконечность )$

Ответ: $[ 2 - \log _23; $\frac{1}{2}$ ) \cup ( $\frac{1}{2}$ ;1 ) \cup ( 2; + бесконечность )$