[рис.] а)  Прямые ВС1 и AD1 параллельны, поэтому угол между прямыми АС и ВС1 равен углу CAD1. Треугольник CAD1 = сторонний, поэтому все его углы равны 60°.
б)  Заметим, что прямые АС и ВС1 содержатся в параллельных плоскостях ACD1 и BC1A1. Значит, искомое расстояние = расстоянию между этими плоскостями.
Обозначим центры треугольников ACD1 и BC1A1 через точки О и О1 соответственно. Точка D = удалена от вершин треугольника ACD1, поэтому проекция точки D на плоскость ACD1 совпадает с О. Аналогично проекция точки D на плоскость BC1A1 совпадает с О1, а проекции точки В1 на плоскости ACD1 и BC1A1 также совпадают с точками О и О1 соответственно. Значит, прямая DB1 перпендикулярна плоскостям ACD1 и BC1A1 и содержит точки О и О1.
Объем тетраэдра DACD1 равен 36, а площадь его основания $S_ACD_1=AC ^2 \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{4} =18 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ Значит, высота $DO=2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ Аналогично $B_1O_1=2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ Кроме того, $DB_1=AB $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента =6 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ Значит, $OO_1=DB_1 - B_1O_1 - DO=2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

Ответ: б) $2 \sqrt{3}$

Приведем решение Александра Турбанова (Липецк).
[рис.]
а)  Введем прямоугольную систему координат с началом в точке B, как показано на рисунке. В этой системе координат:

$B ( 0; 0; 0 )$
$A ( 6; 0; 0 )$
$C ( 0; 6; 0 )$
$C_1 ( 0;6;6 )$
$\overrightarrowAC ( - 6; 6; 0 )$
$\overrightarrowBC_1 ( 0; 6; 6 )$

Пусть φ   — угол между прямыми AC и BC1. Имеем:

$\cos \varphi= \frac{| - 6 \cdot 0 + 6 \cdot 6 + 0 \cdot 6|}{$\sqrt{аргумента: 0 + 36 + 36}$ аргумента $\sqrt{аргумента: 0 + 36 + 36}$ аргумента} = $\frac{36}{72}$ = \frac{1}{2}$

откуда φ  =  60°.
б)  Рассмотрим плоскость α, проходящую через AC и параллельную BC1. Вектор $\overrightarrowBC_1$ параллелен плоскости α, а значит, перпендикулярен нормали к ней. Пусть вектор нормали имеет координаты $\vecn = ( A, B, C )$ тогда $\overrightarrowBC_1 \cdot \vecn = 6B + 6C = 0$ откуда $C = - B$ Подставим координаты точек A и C в уравнение плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ получим:

$$$\begin{cases} 6A + D = 0 \\[6pt] 6B + D = 0 \\[6pt] C = - B. \end{cases}$$$

Тогда: $A= - \frac{D}{6}$ $B= - \frac{D}{6}$ $C= \frac{D}{6}$ Плоскость α не проходит через начало координат, а потому коэффициент D можно положить любым, отличным от нуля. Пусть $D = - 6$ тогда уравнение плоскости имеет вид $x + y - z - 6 = 0$ Расстояние между прямыми AC и BC1 =

$\rho ( AC; BC_1 ) =\rho ( B; альфа ) = \frac{\abs0 + 0 + 0 - 6}{$\sqrt{аргумента: 1 + 1 + 1}$ аргумента} = \frac{6}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} =2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$