[рис.] Требуется, чтобы уравнение $4\abs\absx - a - 4 = - x ^2 - 8x$ имело ровно 4 корня. Построим графики левой и правой части уравнения.
Функция $y= - x ^2 - 8x$ задает параболу с вершиной $( - 4; 16 )$ Мы будем рассматривать ту ее часть, которая выше оси, поскольку левая часть $4\abs\absx - a - 4$ неотрицательна.
Функция $y=\absx - a - 4$ задает прямой угол с вершиной в точке $( a; - 4 )$ поэтому $y = \abs\absx - a - 4$   — ломаная с четырьмя звеньями, получаемая отражением нижней части графика вверх. Вершинами полученной ломаной являются точки $( a; 4 )$ $( a + 4; 0 )$ и $( a - 4; 0 )$ Угловые коэффициенты всех звеньев равны ±1, а после умножения на 4 равны ±4. Рассмотрим три случая расположения ломаной прямой.
Случай 1. Оба графика имеют вертикальные оси симметрии, поэтому можно рассматривать только случай $a больше или = - 4$ а затем добавить в ответ все значения, симметричные полученным относительно точки −4.
Случай 2. При $a= - 4$ на параболе лежат все вершины ломаной, поэтому решений 3.
Случай 3. Будем называть звенья ломаной по порядку от первого до четвертого. Если взять a больше −4, то первая вершина ломаной попадет внутрь параболы, первое и второе звенья будут иметь по одному пересечению, третье  — два, а четвертое ни одного. Итого будет 4 решения и это будет продолжаться при увеличении a до тех пор, пока третье звено не станет касаться параболы. В этот момент их станет 3, а при дальнейшем продвижении  — два, третье звено ломаной больше не будет пересекать параболу. Следующее изменение произойдет, когда первая вершина ломаной попадет на параболу. При этом вторая вершина совпадет с вершиной параболы и точек будет две, при дальнейшем движении их будет не более двух. На рисунке оранжевым цветом окрашена парабола, синим  — ломаная при $a = - 4$ зеленым  — ломаные, имеющие 4 общих точки с параболой, красным  — ломаные, одна из ветвей которых касается параболы.
Осталось определить a, при котором третье звено ломаной, то есть отрезок прямой

$y=4\abs\absx - a - 4=4\absx - a - 4=4 ( - x + a + 4 )$

касается параболы. При этом уравнение

$ - x ^2 - 8x=4 ( - x + a + 4 ) = сильно x ^2 + 4x + 4 ( a + 4 ) =0$

имеет нулевой дискриминант. Имеем: $D=16 - 16 ( a + 4 ) =0$ откуда $a= - 3$ При таком значении а точка касания имеет абсциссу $x = - 2$ что соответствует рисунку.
Итак, ёподходят $a принадлежит ( - 4; - 3 )$ а также симметричные им $a принадлежит ( - 5; - 4 )$ Окончательно, $a принадлежит ( - 5; - 4 ) \cup ( - 4; - 3 )$

Ответ: $a принадлежит ( - 5; - 4 ) \cup ( - 4; - 3 )$